def pow_add

bend-collections-laws-crypto@1.0.0.0 · proofs/math/natural/arith.bend:169

import Base
import bend-collections-laws-crypto@1.0.0.0/proofs/lib/lemmas/proofs/nat_algebra.bend as A

169# a^(x + y) == a^x a^y   (Mathlib pow_add)
170def pow_add(+a: Nat, +x: Nat, +y: Nat) -> {Nat.pow(a, Nat.add(x, y)) == Nat.mul(Nat.pow(a, x), Nat.pow(a, y)) : Nat}:
171  match x:
172    case 0n:
173      Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.pow(a, y), 0n), Nat.pow(a, y), A.add_zero(Nat.pow(a, y)))
174    case 1n+ +xp:
175      %Equal.sym(Nat, Nat.pow(a, Nat.add(xp, y)), Nat.mul(Nat.pow(a, xp), Nat.pow(a, y)), pow_add(a, xp, y)) : {Nat.mul(a, _) == Nat.mul(Nat.mul(a, Nat.pow(a, xp)), Nat.pow(a, y)) : Nat}
176      Equal.sym(Nat, Nat.mul(Nat.mul(a, Nat.pow(a, xp)), Nat.pow(a, y)), Nat.mul(a, Nat.mul(Nat.pow(a, xp), Nat.pow(a, y))), A.mul_assoc(a, Nat.pow(a, xp), Nat.pow(a, y)))