def t3

bend-collections-laws-math@1.0.0.0 · proofs/math/typed/f64sqk.bend:46

import Base
import bend-collections-laws-math@1.0.0.0/proofs/lib/nat.bend as N
import bend-collections-laws-math@1.0.0.0/proofs/lib/logic.bend as L
import bend-collections-laws-math@1.0.0.0/proofs/lib/lemmas/proofs/nat_algebra.bend as NA
import bend-collections-laws-math@1.0.0.0/proofs/math/natural/sqrtn.bend as SQ
import bend-collections-laws-math@1.0.0.0/proofs/math/typed/width.bend as WW
import bend-collections-laws-math@1.0.0.0/proofs/math/typed/w64dm.bend as DM

46# (T + 3)^2 exceeds (T + 1)^2 + 4 T
47def t3(+T: Nat) -> {Nat.is_lt(Nat.add(Nat.mul(1n+T, 1n+T), Nat.add(Nat.add(T, T), Nat.add(T, T))), Nat.mul(Nat.add(1n+T, 2n), Nat.add(1n+T, 2n))) == True{} : Bool}:
48  +a : Nat = 1n+T
49  +e2 = Equal.trans(Nat, Nat.add(Nat.mul(a, 2n), Nat.mul(a, 2n)), Nat.add(Nat.add(a, a), Nat.mul(a, 2n)), Nat.add(Nat.add(a, a), Nat.add(a, a)), Equal.cong(Nat, Nat, z => Nat.add(z, Nat.mul(a, 2n)), Nat.mul(a, 2n), Nat.add(a, a), two_mul(a)), Equal.cong(Nat, Nat, z => Nat.add(Nat.add(a, a), z), Nat.mul(a, 2n), Nat.add(a, a), two_mul(a)))
50  +hT = N.le_succ(T)
51  +h4 = SQ.le_add2(Nat.add(T, T), Nat.add(a, a), Nat.add(T, T), Nat.add(a, a), SQ.le_add2(T, a, T, a, hT, hT), SQ.le_add2(T, a, T, a, hT, hT))
52  +h5 = L.subst(Nat, z => {Nat.is_le(Nat.add(Nat.add(T, T), Nat.add(T, T)), z) == True{} : Bool}, Nat.add(Nat.add(a, a), Nat.add(a, a)), Nat.add(Nat.mul(a, 2n), Nat.mul(a, 2n)), Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.mul(a, 2n), Nat.mul(a, 2n)), Nat.add(Nat.add(a, a), Nat.add(a, a)), e2), h4)
53  +h6 = N.le_lt_trans(Nat.add(Nat.add(T, T), Nat.add(T, T)), Nat.add(Nat.mul(a, 2n), Nat.mul(a, 2n)), Nat.add(Nat.add(Nat.mul(a, 2n), Nat.mul(a, 2n)), 4n), h5, DM.lt_add_pos(Nat.add(Nat.mul(a, 2n), Nat.mul(a, 2n)), 4n, {==}))
54  +h7 = Equal.trans(Bool, Nat.is_lt(Nat.add(Nat.mul(a, a), Nat.add(Nat.add(T, T), Nat.add(T, T))), Nat.add(Nat.mul(a, a), Nat.add(Nat.add(Nat.mul(a, 2n), Nat.mul(a, 2n)), 4n))), Nat.is_lt(Nat.add(Nat.add(T, T), Nat.add(T, T)), Nat.add(Nat.add(Nat.mul(a, 2n), Nat.mul(a, 2n)), 4n)), True{}, WW.lt_cancel_l(Nat.mul(a, a), Nat.add(Nat.add(T, T), Nat.add(T, T)), Nat.add(Nat.add(Nat.mul(a, 2n), Nat.mul(a, 2n)), 4n)), h6)
55  +h8 = L.subst(Nat, z => {Nat.is_lt(Nat.add(Nat.mul(a, a), Nat.add(Nat.add(T, T), Nat.add(T, T))), z) == True{} : Bool}, Nat.add(Nat.mul(a, a), Nat.add(Nat.add(Nat.mul(a, 2n), Nat.mul(a, 2n)), 4n)), Nat.add(Nat.add(Nat.mul(a, a), Nat.add(Nat.mul(a, 2n), Nat.mul(a, 2n))), Nat.mul(2n, 2n)), Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(Nat.mul(a, a), Nat.add(Nat.mul(a, 2n), Nat.mul(a, 2n))), Nat.mul(2n, 2n)), Nat.add(Nat.mul(a, a), Nat.add(Nat.add(Nat.mul(a, 2n), Nat.mul(a, 2n)), 4n)), NA.add_assoc(Nat.mul(a, a), Nat.add(Nat.mul(a, 2n), Nat.mul(a, 2n)), 4n)), h7)
56  L.subst(Nat, z => {Nat.is_lt(Nat.add(Nat.mul(a, a), Nat.add(Nat.add(T, T), Nat.add(T, T))), z) == True{} : Bool}, Nat.add(Nat.add(Nat.mul(a, a), Nat.add(Nat.mul(a, 2n), Nat.mul(a, 2n))), Nat.mul(2n, 2n)), Nat.mul(Nat.add(a, 2n), Nat.add(a, 2n)), Equal.sym(Nat, Nat.mul(Nat.add(a, 2n), Nat.add(a, 2n)), Nat.add(Nat.add(Nat.mul(a, a), Nat.add(Nat.mul(a, 2n), Nat.mul(a, 2n))), Nat.mul(2n, 2n)), sqa(a, 2n)), h8)