def a1

bend-collections-laws-math@1.0.0.0 · proofs/math/random/fround.bend:327

import Base
import bend-collections-laws-math@1.0.0.0/proofs/lib/nat.bend as N
import bend-collections-laws-math@1.0.0.0/proofs/lib/lemmas/proofs/nat_algebra.bend as NA

327def a1(+x: Nat, +k: Nat, +u: Nat, +h: {Nat.is_le(Nat.add(x, k), u) == True{} : Bool}) -> {Nat.sub(u, x) == Nat.add(Nat.sub(u, Nat.add(x, k)), k) : Nat}:
328  +r = Nat.sub(u, Nat.add(x, k))
329  +eu = N.sub_add(u, Nat.add(x, k), h)
330  Equal.trans(Nat, Nat.sub(u, x), Nat.sub(Nat.add(Nat.add(x, k), r), x), Nat.add(r, k), Equal.cong(Nat, Nat, z => Nat.sub(z, x), u, Nat.add(Nat.add(x, k), r), Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x, k), r), u, eu)), Equal.trans(Nat, Nat.sub(Nat.add(Nat.add(x, k), r), x), Nat.sub(Nat.add(x, Nat.add(k, r)), x), Nat.add(r, k), Equal.cong(Nat, Nat, z => Nat.sub(z, x), Nat.add(Nat.add(x, k), r), Nat.add(x, Nat.add(k, r)), NA.add_assoc(x, k, r)), Equal.trans(Nat, Nat.sub(Nat.add(x, Nat.add(k, r)), x), Nat.add(k, r), Nat.add(r, k), N.add_sub_cancel(x, Nat.add(k, r)), NA.add_comm(k, r))))