def alg_neg

bend-collections-laws-math@1.0.0.0 · proofs/math/number/egcd.bend:55

import Base
import bend-collections-laws-math@1.0.0.0/proofs/lib/lemmas/proofs/nat_algebra.bend as A

55# child r y == g + b x  gives  (q b + r) y == g + b (x + q y)
56def alg_neg(+g: Nat, +x: Nat, +y: Nat, +q: Nat, +b: Nat, +r: Nat, +ih: {Nat.mul(r, y) == Nat.add(g, Nat.mul(b, x)) : Nat}) -> {Nat.mul(Nat.add(Nat.mul(q, b), r), y) == Nat.add(g, Nat.mul(b, Nat.add(x, Nat.mul(q, y)))) : Nat}:
57  %Equal.sym(Nat, Nat.mul(Nat.add(Nat.mul(q, b), r), y), Nat.add(Nat.mul(b, Nat.mul(q, y)), Nat.mul(r, y)), spread(q, b, r, y)) : {_ == Nat.add(g, Nat.mul(b, Nat.add(x, Nat.mul(q, y)))) : Nat}
58  %Equal.sym(Nat, Nat.mul(r, y), Nat.add(g, Nat.mul(b, x)), ih) : {Nat.add(Nat.mul(b, Nat.mul(q, y)), _) == Nat.add(g, Nat.mul(b, Nat.add(x, Nat.mul(q, y)))) : Nat}
59  %Equal.sym(Nat, Nat.mul(b, Nat.add(x, Nat.mul(q, y))), Nat.add(Nat.mul(b, x), Nat.mul(b, Nat.mul(q, y))), A.mul_add_left(b, x, Nat.mul(q, y))) : {Nat.add(Nat.mul(b, Nat.mul(q, y)), Nat.add(g, Nat.mul(b, x))) == Nat.add(g, _) : Nat}
60  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.mul(b, Nat.mul(q, y)), Nat.add(g, Nat.mul(b, x))), Nat.add(g, Nat.add(Nat.mul(b, Nat.mul(q, y)), Nat.mul(b, x))), A.add_swap(Nat.mul(b, Nat.mul(q, y)), g, Nat.mul(b, x))) : {_ == Nat.add(g, Nat.add(Nat.mul(b, x), Nat.mul(b, Nat.mul(q, y)))) : Nat}
61  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.mul(b, Nat.mul(q, y)), Nat.mul(b, x)), Nat.add(Nat.mul(b, x), Nat.mul(b, Nat.mul(q, y))), A.add_comm(Nat.mul(b, Nat.mul(q, y)), Nat.mul(b, x))) : {Nat.add(g, _) == Nat.add(g, Nat.add(Nat.mul(b, x), Nat.mul(b, Nat.mul(q, y)))) : Nat}
62  {==}