def succ_mul_succ

bend-collections-laws-math@1.0.0.0 · proofs/math/natural/sqrtn.bend:22

import Base
import bend-collections-laws-math@1.0.0.0/proofs/lib/nat.bend as N
import bend-collections-laws-math@1.0.0.0/proofs/lib/lemmas/proofs/nat_algebra.bend as A

22# (1 + u)(1 + v) == 1 + ((u + v) + u v)
23def succ_mul_succ(+u: Nat, +v: Nat) -> {Nat.mul(1n+u, 1n+v) == 1n+Nat.add(Nat.add(u, v), Nat.mul(u, v)) : Nat}:
24  %Equal.sym(Nat, Nat.mul(u, 1n+v), Nat.add(u, Nat.mul(u, v)), A.mul_succ(u, v)) : {Nat.add(1n+v, _) == 1n+Nat.add(Nat.add(u, v), Nat.mul(u, v)) : Nat}
25  N.succ_cong(Nat.add(v, Nat.add(u, Nat.mul(u, v))), Nat.add(Nat.add(u, v), Nat.mul(u, v)), Equal.trans(Nat, Nat.add(v, Nat.add(u, Nat.mul(u, v))), Nat.add(u, Nat.add(v, Nat.mul(u, v))), Nat.add(Nat.add(u, v), Nat.mul(u, v)), A.add_swap(v, u, Nat.mul(u, v)), Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(u, v), Nat.mul(u, v)), Nat.add(u, Nat.add(v, Nat.mul(u, v))), A.add_assoc(u, v, Nat.mul(u, v)))))