def choose_mul_facts

bend-collections-laws-math@1.0.0.0 · proofs/math/natural/fact.bend:212

import Base
import bend-collections-laws-math@1.0.0.0/proofs/lib/lemmas/proofs/nat_algebra.bend as A
import bend-collections-laws-math@1.0.0.0/spec/math/natural.bend as S

212# C(n, k) (k! (n - k)!) == n!   (Mathlib Nat.choose_mul_factorial_mul_factorial)
213def choose_mul_facts(+n: Nat, +k: Nat, +h: {Nat.is_le(k, n) == True{} : Bool}) -> {Nat.mul(S.choose(n, k), Nat.mul(S.factorial(k), S.factorial(Nat.sub(n, k)))) == S.factorial(n) : Nat}:
214  %Equal.sym(Nat, Nat.mul(S.choose(n, k), Nat.mul(S.factorial(k), S.factorial(Nat.sub(n, k)))), Nat.mul(Nat.mul(S.choose(n, k), S.factorial(k)), S.factorial(Nat.sub(n, k))), Equal.sym(Nat, Nat.mul(Nat.mul(S.choose(n, k), S.factorial(k)), S.factorial(Nat.sub(n, k))), Nat.mul(S.choose(n, k), Nat.mul(S.factorial(k), S.factorial(Nat.sub(n, k)))), A.mul_assoc(S.choose(n, k), S.factorial(k), S.factorial(Nat.sub(n, k))))) : {_ == S.factorial(n) : Nat}
215  %Equal.sym(Nat, Nat.mul(S.choose(n, k), S.factorial(k)), S.desc(n, k), choose_mul_factorial(n, k)) : {Nat.mul(_, S.factorial(Nat.sub(n, k))) == S.factorial(n) : Nat}
216  %Equal.sym(Nat, Nat.mul(S.desc(n, k), S.factorial(Nat.sub(n, k))), Nat.mul(S.factorial(Nat.sub(n, k)), S.desc(n, k)), A.mul_comm(S.desc(n, k), S.factorial(Nat.sub(n, k)))) : {_ == S.factorial(n) : Nat}
217  factorial_mul_desc(n, k, h)