def pow_double

bend-collections-laws-crypto@1.0.0.0 · proofs/math/natural/modpow.bend:29

import Base
import bend-collections-laws-crypto@1.0.0.0/proofs/lib/lemmas/proofs/nat_algebra.bend as A

29# x^(2 y) == (x x)^y
30def pow_double(+x: Nat, +y: Nat) -> {Nat.pow(x, Nat.double(y)) == Nat.pow(Nat.mul(x, x), y) : Nat}:
31  match y:
32    case 0n:
33      {==}
34    case 1n+ +yp:
35      Equal.trans(Nat, Nat.mul(x, Nat.mul(x, Nat.pow(x, Nat.double(yp)))), Nat.mul(Nat.mul(x, x), Nat.pow(x, Nat.double(yp))), Nat.mul(Nat.mul(x, x), Nat.pow(Nat.mul(x, x), yp)),
36        Equal.sym(Nat, Nat.mul(Nat.mul(x, x), Nat.pow(x, Nat.double(yp))), Nat.mul(x, Nat.mul(x, Nat.pow(x, Nat.double(yp)))), A.mul_assoc(x, x, Nat.pow(x, Nat.double(yp)))),
37        Equal.cong(Nat, Nat, z => Nat.mul(Nat.mul(x, x), z), Nat.pow(x, Nat.double(yp)), Nat.pow(Nat.mul(x, x), yp), pow_double(x, yp)))