def absorb

bend-collections-laws-crypto@1.0.0.0 · proofs/math/natural/arith.bend:119

import Base
import bend-collections-laws-crypto@1.0.0.0/proofs/lib/lemmas/proofs/nat_algebra.bend as A

119# (q n + r) mod n == r mod n   (Mathlib Nat.mul_add_mod)
120def absorb(+bp: Nat, +q: Nat, +r: Nat) -> {Nat.mod(Nat.add(Nat.mul(q, 1n+bp), r), 1n+bp) == Nat.mod(r, 1n+bp) : Nat}:
121  +n = {1n+bp : Nat}
122  +qr = Nat.div(r, n)
123  +m = Nat.mod(r, n)
124  +e = Equal.trans(Nat, Nat.add(Nat.mul(q, n), r), Nat.add(Nat.mul(q, n), Nat.add(Nat.mul(qr, n), m)), Nat.add(Nat.mul(Nat.add(q, qr), n), m),
125    Equal.cong(Nat, Nat, z => Nat.add(Nat.mul(q, n), z), r, Nat.add(Nat.mul(qr, n), m), dm_eq(bp, r)),
126    Equal.trans(Nat, Nat.add(Nat.mul(q, n), Nat.add(Nat.mul(qr, n), m)), Nat.add(Nat.add(Nat.mul(q, n), Nat.mul(qr, n)), m), Nat.add(Nat.mul(Nat.add(q, qr), n), m),
127      Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(Nat.mul(q, n), Nat.mul(qr, n)), m), Nat.add(Nat.mul(q, n), Nat.add(Nat.mul(qr, n), m)), A.add_assoc(Nat.mul(q, n), Nat.mul(qr, n), m)),
128      Equal.cong(Nat, Nat, z => Nat.add(z, m), Nat.add(Nat.mul(q, n), Nat.mul(qr, n)), Nat.mul(Nat.add(q, qr), n), Equal.sym(Nat, Nat.mul(Nat.add(q, qr), n), Nat.add(Nat.mul(q, n), Nat.mul(qr, n)), A.mul_add_right(q, qr, n)))))
129  Equal.trans(Nat, Nat.mod(Nat.add(Nat.mul(q, n), r), n), Nat.mod(Nat.add(Nat.mul(Nat.add(q, qr), n), m), n), m, Equal.cong(Nat, Nat, z => Nat.mod(z, n), Nat.add(Nat.mul(q, n), r), Nat.add(Nat.mul(Nat.add(q, qr), n), m), e), mod_of(Nat.add(q, qr), bp, m, dm_lt(bp, r)))