def arith_sub

bend-collections-laws-crypto@1.0.0.0 · proofs/lib/u32alg.bend:193

import Base
import bend-collections-laws-crypto@1.0.0.0/proofs/lib/nat.bend as N

193# (a + b) - a == b
194def arith_sub(+ux: Nat, +un: Nat, +ua: Nat, +ub: Nat, +k: Nat, +e: {Nat.add(ux, k) == Nat.add(ua, ub) : Nat}) -> {Nat.add(Nat.add(1n, Nat.add(ux, un)), k) == Nat.add(ub, Nat.add(1n, Nat.add(un, ua))) : Nat}:
195  # both sides are 1 + ((ua + ub) + un)
196  +p1 = N.succ_cong(Nat.add(Nat.add(ux, un), k), Nat.add(Nat.add(ua, ub), un), Equal.trans(Nat, Nat.add(Nat.add(ux, un), k), Nat.add(Nat.add(ux, k), un), Nat.add(Nat.add(ua, ub), un), add_rot(ux, un, k), Equal.cong(Nat, Nat, z => Nat.add(z, un), Nat.add(ux, k), Nat.add(ua, ub), e)))
197  +q = Equal.trans(Nat, Nat.add(Nat.add(ua, ub), un), Nat.add(ua, Nat.add(ub, un)), Nat.add(ub, Nat.add(un, ua)), N.add_assoc(ua, ub, un), Equal.trans(Nat, Nat.add(ua, Nat.add(ub, un)), Nat.add(Nat.add(ub, un), ua), Nat.add(ub, Nat.add(un, ua)), N.add_comm(ua, Nat.add(ub, un)), N.add_assoc(ub, un, ua)))
198  Equal.trans(Nat, Nat.add(Nat.add(1n, Nat.add(ux, un)), k), 1n+Nat.add(Nat.add(ua, ub), un), Nat.add(ub, Nat.add(1n, Nat.add(un, ua))), p1,
199    Equal.trans(Nat, 1n+Nat.add(Nat.add(ua, ub), un), 1n+Nat.add(ub, Nat.add(un, ua)), Nat.add(ub, 1n+Nat.add(un, ua)), N.succ_cong(Nat.add(Nat.add(ua, ub), un), Nat.add(ub, Nat.add(un, ua)), q), Equal.sym(Nat, Nat.add(ub, 1n+Nat.add(un, ua)), 1n+Nat.add(ub, Nat.add(un, ua)), N.add_succ(ub, Nat.add(un, ua)))))