PROOF.ur.r7: def of bend-osdev-u32@0.1.0.0
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import bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend as Laws

def ur.r7(+x0: Nat, +x1: Nat) -> {Nat.add(1n+Nat.double(Nat.add(x0, x1)), 1n) == Nat.double(Nat.add(x0, 1n+x1)) : Nat}:
  %Equal.sym(Nat, Nat.double(Nat.add(x0, x1)), Nat.add(Nat.add(x0, x1), Nat.add(x0, x1)), Laws.nat_double(Nat.add(x0, x1))) : {Nat.add(Nat.add(1n, _), 1n) == Nat.double(Nat.add(x0, 1n+x1)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x0, x1), Nat.add(x0, x1)), Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x0, x1))), Laws.nat_add_assoc(x0, x1, Nat.add(x0, x1))) : {Nat.add(Nat.add(1n, _), 1n) == Nat.double(Nat.add(x0, 1n+x1)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x1, Nat.add(x0, x1)), Nat.add(x0, Nat.add(x1, x1)), Laws.nat_add_left_comm(x1, x0, x1)) : {Nat.add(Nat.add(1n, Nat.add(x0, _)), 1n) == Nat.double(Nat.add(x0, 1n+x1)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(1n, Nat.add(x0, Nat.add(x0, Nat.add(x1, x1)))), 1n), Nat.add(1n, Nat.add(Nat.add(x0, Nat.add(x0, Nat.add(x1, x1))), 1n)), Laws.nat_add_assoc(1n, Nat.add(x0, Nat.add(x0, Nat.add(x1, x1))), 1n)) : {_ == Nat.double(Nat.add(x0, 1n+x1)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x0, Nat.add(x0, Nat.add(x1, x1))), 1n), Nat.add(x0, Nat.add(Nat.add(x0, Nat.add(x1, x1)), 1n)), Laws.nat_add_assoc(x0, Nat.add(x0, Nat.add(x1, x1)), 1n)) : {Nat.add(1n, _) == Nat.double(Nat.add(x0, 1n+x1)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x0, Nat.add(x1, x1)), 1n), Nat.add(x0, Nat.add(Nat.add(x1, x1), 1n)), Laws.nat_add_assoc(x0, Nat.add(x1, x1), 1n)) : {Nat.add(1n, Nat.add(x0, _)) == Nat.double(Nat.add(x0, 1n+x1)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x1, x1), 1n), Nat.add(x1, Nat.add(x1, 1n)), Laws.nat_add_assoc(x1, x1, 1n)) : {Nat.add(1n, Nat.add(x0, Nat.add(x0, _))) == Nat.double(Nat.add(x0, 1n+x1)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x1, 1n), Nat.add(1n, x1), Laws.nat_add_comm(x1, 1n)) : {Nat.add(1n, Nat.add(x0, Nat.add(x0, Nat.add(x1, _)))) == Nat.double(Nat.add(x0, 1n+x1)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x1, Nat.add(1n, x1)), Nat.add(1n, Nat.add(x1, x1)), Laws.nat_add_left_comm(x1, 1n, x1)) : {Nat.add(1n, Nat.add(x0, Nat.add(x0, _))) == Nat.double(Nat.add(x0, 1n+x1)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x0, Nat.add(1n, Nat.add(x1, x1))), Nat.add(1n, Nat.add(x0, Nat.add(x1, x1))), Laws.nat_add_left_comm(x0, 1n, Nat.add(x1, x1))) : {Nat.add(1n, Nat.add(x0, _)) == Nat.double(Nat.add(x0, 1n+x1)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x0, Nat.add(1n, Nat.add(x0, Nat.add(x1, x1)))), Nat.add(1n, Nat.add(x0, Nat.add(x0, Nat.add(x1, x1)))), Laws.nat_add_left_comm(x0, 1n, Nat.add(x0, Nat.add(x1, x1)))) : {Nat.add(1n, _) == Nat.double(Nat.add(x0, 1n+x1)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(1n, Nat.add(1n, Nat.add(x0, Nat.add(x0, Nat.add(x1, x1))))), Nat.add(Nat.add(1n, 1n), Nat.add(x0, Nat.add(x0, Nat.add(x1, x1)))), Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(1n, 1n), Nat.add(x0, Nat.add(x0, Nat.add(x1, x1)))), Nat.add(1n, Nat.add(1n, Nat.add(x0, Nat.add(x0, Nat.add(x1, x1))))), Laws.nat_add_assoc(1n, 1n, Nat.add(x0, Nat.add(x0, Nat.add(x1, x1)))))) : {_ == Nat.double(Nat.add(x0, 1n+x1)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(1n, 1n), Nat.add(x0, Nat.add(x0, Nat.add(x1, x1)))), Nat.add(1n, Nat.add(1n, Nat.add(x0, Nat.add(x0, Nat.add(x1, x1))))), Equal.sym(Nat, Nat.add(1n, Nat.add(1n, Nat.add(x0, Nat.add(x0, Nat.add(x1, x1))))), Nat.add(Nat.add(1n, 1n), Nat.add(x0, Nat.add(x0, Nat.add(x1, x1)))), Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(1n, 1n), Nat.add(x0, Nat.add(x0, Nat.add(x1, x1)))), Nat.add(1n, Nat.add(1n, Nat.add(x0, Nat.add(x0, Nat.add(x1, x1))))), Laws.nat_add_assoc(1n, 1n, Nat.add(x0, Nat.add(x0, Nat.add(x1, x1))))))) : {_ == Nat.double(Nat.add(x0, 1n+x1)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(1n, Nat.add(x0, Nat.add(x0, Nat.add(x1, x1)))), Nat.add(x0, Nat.add(1n, Nat.add(x0, Nat.add(x1, x1)))), Equal.sym(Nat, Nat.add(x0, Nat.add(1n, Nat.add(x0, Nat.add(x1, x1)))), Nat.add(1n, Nat.add(x0, Nat.add(x0, Nat.add(x1, x1)))), Laws.nat_add_left_comm(x0, 1n, Nat.add(x0, Nat.add(x1, x1))))) : {Nat.add(1n, _) == Nat.double(Nat.add(x0, 1n+x1)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x0, Nat.add(x1, x1)), Nat.add(x1, Nat.add(x0, x1)), Equal.sym(Nat, Nat.add(x1, Nat.add(x0, x1)), Nat.add(x0, Nat.add(x1, x1)), Laws.nat_add_left_comm(x1, x0, x1))) : {Nat.add(1n, Nat.add(x0, Nat.add(1n, _))) == Nat.double(Nat.add(x0, 1n+x1)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(1n, Nat.add(x1, Nat.add(x0, x1))), Nat.add(x1, Nat.add(1n, Nat.add(x0, x1))), Equal.sym(Nat, Nat.add(x1, Nat.add(1n, Nat.add(x0, x1))), Nat.add(1n, Nat.add(x1, Nat.add(x0, x1))), Laws.nat_add_left_comm(x1, 1n, Nat.add(x0, x1)))) : {Nat.add(1n, Nat.add(x0, _)) == Nat.double(Nat.add(x0, 1n+x1)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(1n, Nat.add(x0, x1)))), Nat.add(Nat.add(x0, x1), Nat.add(1n, Nat.add(x0, x1))), Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x0, x1), Nat.add(1n, Nat.add(x0, x1))), Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(1n, Nat.add(x0, x1)))), Laws.nat_add_assoc(x0, x1, Nat.add(1n, Nat.add(x0, x1))))) : {Nat.add(1n, _) == Nat.double(Nat.add(x0, 1n+x1)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(1n, Nat.add(Nat.add(x0, x1), Nat.add(1n, Nat.add(x0, x1)))), Nat.add(Nat.add(1n, Nat.add(x0, x1)), Nat.add(1n, Nat.add(x0, x1))), Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(1n, Nat.add(x0, x1)), Nat.add(1n, Nat.add(x0, x1))), Nat.add(1n, Nat.add(Nat.add(x0, x1), Nat.add(1n, Nat.add(x0, x1)))), Laws.nat_add_assoc(1n, Nat.add(x0, x1), Nat.add(1n, Nat.add(x0, x1))))) : {_ == Nat.double(Nat.add(x0, 1n+x1)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(1n, Nat.add(x0, x1)), Nat.add(x0, Nat.add(1n, x1)), Equal.sym(Nat, Nat.add(x0, Nat.add(1n, x1)), Nat.add(1n, Nat.add(x0, x1)), Laws.nat_add_left_comm(x0, 1n, x1))) : {Nat.add(Nat.add(1n, Nat.add(x0, x1)), _) == Nat.double(Nat.add(x0, 1n+x1)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(1n, Nat.add(x0, x1)), Nat.add(x0, Nat.add(1n, x1)), Equal.sym(Nat, Nat.add(x0, Nat.add(1n, x1)), Nat.add(1n, Nat.add(x0, x1)), Laws.nat_add_left_comm(x0, 1n, x1))) : {Nat.add(_, Nat.add(x0, 1n+x1)) == Nat.double(Nat.add(x0, 1n+x1)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x0, 1n+x1), Nat.add(x0, 1n+x1)), Nat.double(Nat.add(x0, 1n+x1)), Equal.sym(Nat, Nat.double(Nat.add(x0, 1n+x1)), Nat.add(Nat.add(x0, 1n+x1), Nat.add(x0, 1n+x1)), Laws.nat_double(Nat.add(x0, 1n+x1)))) : {_ == Nat.double(Nat.add(x0, 1n+x1)) : Nat}
  {==}

Uses (8):
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Equal.sym
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Nat
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Nat.add
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Nat.double
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_add_assoc
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_add_comm
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_add_left_comm
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