PROOF.ur.r6: def of bend-osdev-u32@0.1.0.0
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import bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend as Laws

def ur.r6(+x0: Nat, +x1: Nat, +x2: Nat, +x3: Nat) -> {Nat.add(Nat.add(Nat.double(x0), x1), 1n+Nat.add(x2, Nat.double(x3))) == Nat.add(1n+Nat.double(Nat.add(x0, x3)), Nat.add(x1, x2)) : Nat}:
  %Equal.sym(Nat, Nat.double(x0), Nat.add(x0, x0), Laws.nat_double(x0)) : {Nat.add(Nat.add(_, x1), 1n+Nat.add(x2, Nat.double(x3))) == Nat.add(1n+Nat.double(Nat.add(x0, x3)), Nat.add(x1, x2)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x0, x0), x1), Nat.add(x0, Nat.add(x0, x1)), Laws.nat_add_assoc(x0, x0, x1)) : {Nat.add(_, 1n+Nat.add(x2, Nat.double(x3))) == Nat.add(1n+Nat.double(Nat.add(x0, x3)), Nat.add(x1, x2)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.double(x3), Nat.add(x3, x3), Laws.nat_double(x3)) : {Nat.add(Nat.add(x0, Nat.add(x0, x1)), Nat.add(1n, Nat.add(x2, _))) == Nat.add(1n+Nat.double(Nat.add(x0, x3)), Nat.add(x1, x2)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x0, Nat.add(x0, x1)), Nat.add(1n, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))), Nat.add(x0, Nat.add(Nat.add(x0, x1), Nat.add(1n, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))))), Laws.nat_add_assoc(x0, Nat.add(x0, x1), Nat.add(1n, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))))) : {_ == Nat.add(1n+Nat.double(Nat.add(x0, x3)), Nat.add(x1, x2)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x0, x1), Nat.add(1n, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))), Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(1n, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))))), Laws.nat_add_assoc(x0, x1, Nat.add(1n, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))))) : {Nat.add(x0, _) == Nat.add(1n+Nat.double(Nat.add(x0, x3)), Nat.add(x1, x2)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x1, Nat.add(1n, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))), Nat.add(1n, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))), Laws.nat_add_left_comm(x1, 1n, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))) : {Nat.add(x0, Nat.add(x0, _)) == Nat.add(1n+Nat.double(Nat.add(x0, x3)), Nat.add(x1, x2)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x0, Nat.add(1n, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))))), Nat.add(1n, Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))))), Laws.nat_add_left_comm(x0, 1n, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))))) : {Nat.add(x0, _) == Nat.add(1n+Nat.double(Nat.add(x0, x3)), Nat.add(x1, x2)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x0, Nat.add(1n, Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))))), Nat.add(1n, Nat.add(x0, Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))))), Laws.nat_add_left_comm(x0, 1n, Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))))) : {_ == Nat.add(1n+Nat.double(Nat.add(x0, x3)), Nat.add(x1, x2)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)), Nat.add(x3, Nat.add(x2, x3)), Equal.sym(Nat, Nat.add(x3, Nat.add(x2, x3)), Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)), Laws.nat_add_left_comm(x3, x2, x3))) : {Nat.add(1n, Nat.add(x0, Nat.add(x0, Nat.add(x1, _)))) == Nat.add(1n+Nat.double(Nat.add(x0, x3)), Nat.add(x1, x2)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x1, Nat.add(x3, Nat.add(x2, x3))), Nat.add(x3, Nat.add(x1, Nat.add(x2, x3))), Equal.sym(Nat, Nat.add(x3, Nat.add(x1, Nat.add(x2, x3))), Nat.add(x1, Nat.add(x3, Nat.add(x2, x3))), Laws.nat_add_left_comm(x3, x1, Nat.add(x2, x3)))) : {Nat.add(1n, Nat.add(x0, Nat.add(x0, _))) == Nat.add(1n+Nat.double(Nat.add(x0, x3)), Nat.add(x1, x2)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x2, x3), Nat.add(x3, x2), Equal.sym(Nat, Nat.add(x3, x2), Nat.add(x2, x3), Laws.nat_add_comm(x3, x2))) : {Nat.add(1n, Nat.add(x0, Nat.add(x0, Nat.add(x3, Nat.add(x1, _))))) == Nat.add(1n+Nat.double(Nat.add(x0, x3)), Nat.add(x1, x2)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x1, Nat.add(x3, x2)), Nat.add(x3, Nat.add(x1, x2)), Equal.sym(Nat, Nat.add(x3, Nat.add(x1, x2)), Nat.add(x1, Nat.add(x3, x2)), Laws.nat_add_left_comm(x3, x1, x2))) : {Nat.add(1n, Nat.add(x0, Nat.add(x0, Nat.add(x3, _)))) == Nat.add(1n+Nat.double(Nat.add(x0, x3)), Nat.add(x1, x2)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x3, Nat.add(x3, Nat.add(x1, x2))), Nat.add(Nat.add(x3, x3), Nat.add(x1, x2)), Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x3, x3), Nat.add(x1, x2)), Nat.add(x3, Nat.add(x3, Nat.add(x1, x2))), Laws.nat_add_assoc(x3, x3, Nat.add(x1, x2)))) : {Nat.add(1n, Nat.add(x0, Nat.add(x0, _))) == Nat.add(1n+Nat.double(Nat.add(x0, x3)), Nat.add(x1, x2)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x0, Nat.add(Nat.add(x3, x3), Nat.add(x1, x2))), Nat.add(Nat.add(x0, Nat.add(x3, x3)), Nat.add(x1, x2)), Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x0, Nat.add(x3, x3)), Nat.add(x1, x2)), Nat.add(x0, Nat.add(Nat.add(x3, x3), Nat.add(x1, x2))), Laws.nat_add_assoc(x0, Nat.add(x3, x3), Nat.add(x1, x2)))) : {Nat.add(1n, Nat.add(x0, _)) == Nat.add(1n+Nat.double(Nat.add(x0, x3)), Nat.add(x1, x2)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x0, Nat.add(Nat.add(x0, Nat.add(x3, x3)), Nat.add(x1, x2))), Nat.add(Nat.add(x0, Nat.add(x0, Nat.add(x3, x3))), Nat.add(x1, x2)), Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x0, Nat.add(x0, Nat.add(x3, x3))), Nat.add(x1, x2)), Nat.add(x0, Nat.add(Nat.add(x0, Nat.add(x3, x3)), Nat.add(x1, x2))), Laws.nat_add_assoc(x0, Nat.add(x0, Nat.add(x3, x3)), Nat.add(x1, x2)))) : {Nat.add(1n, _) == Nat.add(1n+Nat.double(Nat.add(x0, x3)), Nat.add(x1, x2)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(1n, Nat.add(Nat.add(x0, Nat.add(x0, Nat.add(x3, x3))), Nat.add(x1, x2))), Nat.add(Nat.add(1n, Nat.add(x0, Nat.add(x0, Nat.add(x3, x3)))), Nat.add(x1, x2)), Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(1n, Nat.add(x0, Nat.add(x0, Nat.add(x3, x3)))), Nat.add(x1, x2)), Nat.add(1n, Nat.add(Nat.add(x0, Nat.add(x0, Nat.add(x3, x3))), Nat.add(x1, x2))), Laws.nat_add_assoc(1n, Nat.add(x0, Nat.add(x0, Nat.add(x3, x3))), Nat.add(x1, x2)))) : {_ == Nat.add(1n+Nat.double(Nat.add(x0, x3)), Nat.add(x1, x2)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x0, Nat.add(x3, x3)), Nat.add(x3, Nat.add(x0, x3)), Equal.sym(Nat, Nat.add(x3, Nat.add(x0, x3)), Nat.add(x0, Nat.add(x3, x3)), Laws.nat_add_left_comm(x3, x0, x3))) : {Nat.add(Nat.add(1n, Nat.add(x0, _)), Nat.add(x1, x2)) == Nat.add(1n+Nat.double(Nat.add(x0, x3)), Nat.add(x1, x2)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x0, Nat.add(x3, Nat.add(x0, x3))), Nat.add(Nat.add(x0, x3), Nat.add(x0, x3)), Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x0, x3), Nat.add(x0, x3)), Nat.add(x0, Nat.add(x3, Nat.add(x0, x3))), Laws.nat_add_assoc(x0, x3, Nat.add(x0, x3)))) : {Nat.add(Nat.add(1n, _), Nat.add(x1, x2)) == Nat.add(1n+Nat.double(Nat.add(x0, x3)), Nat.add(x1, x2)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x0, x3), Nat.add(x0, x3)), Nat.double(Nat.add(x0, x3)), Equal.sym(Nat, Nat.double(Nat.add(x0, x3)), Nat.add(Nat.add(x0, x3), Nat.add(x0, x3)), Laws.nat_double(Nat.add(x0, x3)))) : {Nat.add(Nat.add(1n, _), Nat.add(x1, x2)) == Nat.add(1n+Nat.double(Nat.add(x0, x3)), Nat.add(x1, x2)) : Nat}
  {==}

Uses (8):
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  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Nat
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Nat.add
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Nat.double
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_add_assoc
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_add_comm
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  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_double