PROOF.ur.r41: def of bend-osdev-u32@0.1.0.0
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import Base
import bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend as Laws

def ur.r41(+x0: Nat, +x1: Nat, +x2: Nat) -> {Nat.add(x0, Nat.double(Nat.add(x1, x2))) == Nat.add(Nat.double(x1), Nat.add(x0, Nat.double(x2))) : Nat}:
  %Equal.sym(Nat, Nat.double(Nat.add(x1, x2)), Nat.add(Nat.add(x1, x2), Nat.add(x1, x2)), Laws.nat_double(Nat.add(x1, x2))) : {Nat.add(x0, _) == Nat.add(Nat.double(x1), Nat.add(x0, Nat.double(x2))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x1, x2), Nat.add(x1, x2)), Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x1, x2))), Laws.nat_add_assoc(x1, x2, Nat.add(x1, x2))) : {Nat.add(x0, _) == Nat.add(Nat.double(x1), Nat.add(x0, Nat.double(x2))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x2, Nat.add(x1, x2)), Nat.add(x1, Nat.add(x2, x2)), Laws.nat_add_left_comm(x2, x1, x2)) : {Nat.add(x0, Nat.add(x1, _)) == Nat.add(Nat.double(x1), Nat.add(x0, Nat.double(x2))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x1, Nat.add(x2, x2)))), Nat.add(x1, Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, x2)))), Equal.sym(Nat, Nat.add(x1, Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, x2)))), Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x1, Nat.add(x2, x2)))), Laws.nat_add_left_comm(x1, x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, x2))))) : {_ == Nat.add(Nat.double(x1), Nat.add(x0, Nat.double(x2))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, x2))), Nat.add(x1, Nat.add(x0, Nat.add(x2, x2))), Equal.sym(Nat, Nat.add(x1, Nat.add(x0, Nat.add(x2, x2))), Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, x2))), Laws.nat_add_left_comm(x1, x0, Nat.add(x2, x2)))) : {Nat.add(x1, _) == Nat.add(Nat.double(x1), Nat.add(x0, Nat.double(x2))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x1, Nat.add(x1, Nat.add(x0, Nat.add(x2, x2)))), Nat.add(Nat.add(x1, x1), Nat.add(x0, Nat.add(x2, x2))), Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x1, x1), Nat.add(x0, Nat.add(x2, x2))), Nat.add(x1, Nat.add(x1, Nat.add(x0, Nat.add(x2, x2)))), Laws.nat_add_assoc(x1, x1, Nat.add(x0, Nat.add(x2, x2))))) : {_ == Nat.add(Nat.double(x1), Nat.add(x0, Nat.double(x2))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x2, x2), Nat.double(x2), Equal.sym(Nat, Nat.double(x2), Nat.add(x2, x2), Laws.nat_double(x2))) : {Nat.add(Nat.add(x1, x1), Nat.add(x0, _)) == Nat.add(Nat.double(x1), Nat.add(x0, Nat.double(x2))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x1, x1), Nat.double(x1), Equal.sym(Nat, Nat.double(x1), Nat.add(x1, x1), Laws.nat_double(x1))) : {Nat.add(_, Nat.add(x0, Nat.double(x2))) == Nat.add(Nat.double(x1), Nat.add(x0, Nat.double(x2))) : Nat}
  {==}

Uses (7):
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Equal.sym
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Nat
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Nat.add
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Nat.double
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_add_assoc
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_add_left_comm
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_double