PROOF.ur.r40: def of bend-osdev-u32@0.1.0.0
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def ur.r40(+x0: Nat, +x1: Nat, +x2: Nat, +x3: Nat) -> {Nat.add(Nat.add(x0, Nat.double(x1)), Nat.double(Nat.add(x2, Nat.double(x3)))) == Nat.add(Nat.add(x0, Nat.double(x2)), Nat.double(Nat.add(x1, Nat.double(x3)))) : Nat}:
  %Equal.sym(Nat, Nat.double(x1), Nat.add(x1, x1), Laws.nat_double(x1)) : {Nat.add(Nat.add(x0, _), Nat.double(Nat.add(x2, Nat.double(x3)))) == Nat.add(Nat.add(x0, Nat.double(x2)), Nat.double(Nat.add(x1, Nat.double(x3)))) : Nat}
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  %Equal.sym(Nat, Nat.double(x3), Nat.add(x3, x3), Laws.nat_double(x3)) : {Nat.add(Nat.add(x0, Nat.add(x1, x1)), Nat.add(Nat.add(x2, _), Nat.add(x2, Nat.double(x3)))) == Nat.add(Nat.add(x0, Nat.double(x2)), Nat.double(Nat.add(x1, Nat.double(x3)))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.double(x3), Nat.add(x3, x3), Laws.nat_double(x3)) : {Nat.add(Nat.add(x0, Nat.add(x1, x1)), Nat.add(Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)), Nat.add(x2, _))) == Nat.add(Nat.add(x0, Nat.double(x2)), Nat.double(Nat.add(x1, Nat.double(x3)))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)), Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))), Nat.add(x2, Nat.add(Nat.add(x3, x3), Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))), Laws.nat_add_assoc(x2, Nat.add(x3, x3), Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))) : {Nat.add(Nat.add(x0, Nat.add(x1, x1)), _) == Nat.add(Nat.add(x0, Nat.double(x2)), Nat.double(Nat.add(x1, Nat.double(x3)))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x3, x3), Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))), Nat.add(x3, Nat.add(x3, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))), Laws.nat_add_assoc(x3, x3, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))) : {Nat.add(Nat.add(x0, Nat.add(x1, x1)), Nat.add(x2, _)) == Nat.add(Nat.add(x0, Nat.double(x2)), Nat.double(Nat.add(x1, Nat.double(x3)))) : Nat}
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  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x0, Nat.add(x1, x1)), Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, Nat.add(x3, Nat.add(x3, x3)))))), Nat.add(x0, Nat.add(Nat.add(x1, x1), Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, Nat.add(x3, Nat.add(x3, x3))))))), Laws.nat_add_assoc(x0, Nat.add(x1, x1), Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, Nat.add(x3, Nat.add(x3, x3))))))) : {_ == Nat.add(Nat.add(x0, Nat.double(x2)), Nat.double(Nat.add(x1, Nat.double(x3)))) : Nat}
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  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x3, Nat.add(x3, Nat.add(x3, x3))))))), Nat.add(x2, Nat.add(x1, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x3, Nat.add(x3, Nat.add(x3, x3))))))), Equal.sym(Nat, Nat.add(x2, Nat.add(x1, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x3, Nat.add(x3, Nat.add(x3, x3))))))), Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x3, Nat.add(x3, Nat.add(x3, x3))))))), Laws.nat_add_left_comm(x2, x1, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x3, Nat.add(x3, Nat.add(x3, x3)))))))) : {Nat.add(x0, _) == Nat.add(Nat.add(x0, Nat.double(x2)), Nat.double(Nat.add(x1, Nat.double(x3)))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x3, Nat.add(x3, Nat.add(x3, x3))))), Nat.add(x2, Nat.add(x1, Nat.add(x3, Nat.add(x3, Nat.add(x3, x3))))), Equal.sym(Nat, Nat.add(x2, Nat.add(x1, Nat.add(x3, Nat.add(x3, Nat.add(x3, x3))))), Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x3, Nat.add(x3, Nat.add(x3, x3))))), Laws.nat_add_left_comm(x2, x1, Nat.add(x3, Nat.add(x3, Nat.add(x3, x3)))))) : {Nat.add(x0, Nat.add(x2, Nat.add(x1, _))) == Nat.add(Nat.add(x0, Nat.double(x2)), Nat.double(Nat.add(x1, Nat.double(x3)))) : Nat}
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  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x1, Nat.add(x3, Nat.add(x3, Nat.add(x3, x3)))), Nat.add(x3, Nat.add(x1, Nat.add(x3, Nat.add(x3, x3)))), Equal.sym(Nat, Nat.add(x3, Nat.add(x1, Nat.add(x3, Nat.add(x3, x3)))), Nat.add(x1, Nat.add(x3, Nat.add(x3, Nat.add(x3, x3)))), Laws.nat_add_left_comm(x3, x1, Nat.add(x3, Nat.add(x3, x3))))) : {Nat.add(Nat.add(x0, Nat.add(x2, x2)), Nat.add(x1, _)) == Nat.add(Nat.add(x0, Nat.double(x2)), Nat.double(Nat.add(x1, Nat.double(x3)))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x1, Nat.add(x3, Nat.add(x3, x3))), Nat.add(x3, Nat.add(x1, Nat.add(x3, x3))), Equal.sym(Nat, Nat.add(x3, Nat.add(x1, Nat.add(x3, x3))), Nat.add(x1, Nat.add(x3, Nat.add(x3, x3))), Laws.nat_add_left_comm(x3, x1, Nat.add(x3, x3)))) : {Nat.add(Nat.add(x0, Nat.add(x2, x2)), Nat.add(x1, Nat.add(x3, _))) == Nat.add(Nat.add(x0, Nat.double(x2)), Nat.double(Nat.add(x1, Nat.double(x3)))) : Nat}
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  {==}

Uses (7):
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  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Nat
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Nat.add
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Nat.double
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_add_assoc
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_add_left_comm
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_double