PROOF.ur.r3: def of bend-osdev-u32@0.1.0.0
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def ur.r3(+x0: Nat, +x1: Nat, +x2: Nat, +x3: Nat, +x4: Nat) -> {Nat.add(Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, U.U32Nat.dbl(x3, x4)))), 1n+U.U32Nat.dbl(x3, 1n)) == Nat.add(x0, 1n+Nat.add(x1, Nat.add(x2, U.U32Nat.dbl(x3, 1n+x4)))) : Nat}:
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, U.U32Nat.dbl(x3, x4)))), Nat.add(1n, U.U32Nat.dbl(x3, 1n))), Nat.add(x0, Nat.add(Nat.add(x1, Nat.add(x2, U.U32Nat.dbl(x3, x4))), Nat.add(1n, U.U32Nat.dbl(x3, 1n)))), Laws.nat_add_assoc(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, U.U32Nat.dbl(x3, x4))), Nat.add(1n, U.U32Nat.dbl(x3, 1n)))) : {_ == Nat.add(x0, 1n+Nat.add(x1, Nat.add(x2, U.U32Nat.dbl(x3, 1n+x4)))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x1, Nat.add(x2, U.U32Nat.dbl(x3, x4))), Nat.add(1n, U.U32Nat.dbl(x3, 1n))), Nat.add(x1, Nat.add(Nat.add(x2, U.U32Nat.dbl(x3, x4)), Nat.add(1n, U.U32Nat.dbl(x3, 1n)))), Laws.nat_add_assoc(x1, Nat.add(x2, U.U32Nat.dbl(x3, x4)), Nat.add(1n, U.U32Nat.dbl(x3, 1n)))) : {Nat.add(x0, _) == Nat.add(x0, 1n+Nat.add(x1, Nat.add(x2, U.U32Nat.dbl(x3, 1n+x4)))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x2, U.U32Nat.dbl(x3, x4)), Nat.add(1n, U.U32Nat.dbl(x3, 1n))), Nat.add(x2, Nat.add(U.U32Nat.dbl(x3, x4), Nat.add(1n, U.U32Nat.dbl(x3, 1n)))), Laws.nat_add_assoc(x2, U.U32Nat.dbl(x3, x4), Nat.add(1n, U.U32Nat.dbl(x3, 1n)))) : {Nat.add(x0, Nat.add(x1, _)) == Nat.add(x0, 1n+Nat.add(x1, Nat.add(x2, U.U32Nat.dbl(x3, 1n+x4)))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(U.U32Nat.dbl(x3, x4), Nat.add(1n, U.U32Nat.dbl(x3, 1n))), Nat.add(1n, Nat.add(U.U32Nat.dbl(x3, x4), U.U32Nat.dbl(x3, 1n))), Laws.nat_add_left_comm(U.U32Nat.dbl(x3, x4), 1n, U.U32Nat.dbl(x3, 1n))) : {Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, _))) == Nat.add(x0, 1n+Nat.add(x1, Nat.add(x2, U.U32Nat.dbl(x3, 1n+x4)))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(U.U32Nat.dbl(x3, x4), U.U32Nat.dbl(x3, 1n)), Nat.add(U.U32Nat.dbl(x3, 1n), U.U32Nat.dbl(x3, x4)), Laws.nat_add_comm(U.U32Nat.dbl(x3, x4), U.U32Nat.dbl(x3, 1n))) : {Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(1n, _)))) == Nat.add(x0, 1n+Nat.add(x1, Nat.add(x2, U.U32Nat.dbl(x3, 1n+x4)))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x2, Nat.add(1n, Nat.add(U.U32Nat.dbl(x3, 1n), U.U32Nat.dbl(x3, x4)))), Nat.add(1n, Nat.add(x2, Nat.add(U.U32Nat.dbl(x3, 1n), U.U32Nat.dbl(x3, x4)))), Laws.nat_add_left_comm(x2, 1n, Nat.add(U.U32Nat.dbl(x3, 1n), U.U32Nat.dbl(x3, x4)))) : {Nat.add(x0, Nat.add(x1, _)) == Nat.add(x0, 1n+Nat.add(x1, Nat.add(x2, U.U32Nat.dbl(x3, 1n+x4)))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x1, Nat.add(1n, Nat.add(x2, Nat.add(U.U32Nat.dbl(x3, 1n), U.U32Nat.dbl(x3, x4))))), Nat.add(1n, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(U.U32Nat.dbl(x3, 1n), U.U32Nat.dbl(x3, x4))))), Laws.nat_add_left_comm(x1, 1n, Nat.add(x2, Nat.add(U.U32Nat.dbl(x3, 1n), U.U32Nat.dbl(x3, x4))))) : {Nat.add(x0, _) == Nat.add(x0, 1n+Nat.add(x1, Nat.add(x2, U.U32Nat.dbl(x3, 1n+x4)))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x0, Nat.add(1n, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(U.U32Nat.dbl(x3, 1n), U.U32Nat.dbl(x3, x4)))))), Nat.add(1n, Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(U.U32Nat.dbl(x3, 1n), U.U32Nat.dbl(x3, x4)))))), Laws.nat_add_left_comm(x0, 1n, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(U.U32Nat.dbl(x3, 1n), U.U32Nat.dbl(x3, x4)))))) : {_ == Nat.add(x0, 1n+Nat.add(x1, Nat.add(x2, U.U32Nat.dbl(x3, 1n+x4)))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(1n, Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(U.U32Nat.dbl(x3, 1n), U.U32Nat.dbl(x3, x4)))))), Nat.add(x0, Nat.add(1n, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(U.U32Nat.dbl(x3, 1n), U.U32Nat.dbl(x3, x4)))))), Equal.sym(Nat, Nat.add(x0, Nat.add(1n, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(U.U32Nat.dbl(x3, 1n), U.U32Nat.dbl(x3, x4)))))), Nat.add(1n, Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(U.U32Nat.dbl(x3, 1n), U.U32Nat.dbl(x3, x4)))))), Laws.nat_add_left_comm(x0, 1n, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(U.U32Nat.dbl(x3, 1n), U.U32Nat.dbl(x3, x4))))))) : {_ == Nat.add(x0, 1n+Nat.add(x1, Nat.add(x2, U.U32Nat.dbl(x3, 1n+x4)))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(U.U32Nat.dbl(x3, 1n), U.U32Nat.dbl(x3, x4)), U.U32Nat.dbl(x3, Nat.add(1n, x4)), Equal.sym(Nat, U.U32Nat.dbl(x3, Nat.add(1n, x4)), Nat.add(U.U32Nat.dbl(x3, 1n), U.U32Nat.dbl(x3, x4)), Laws.dbl_add(x3, 1n, x4))) : {Nat.add(x0, Nat.add(1n, Nat.add(x1, Nat.add(x2, _)))) == Nat.add(x0, 1n+Nat.add(x1, Nat.add(x2, U.U32Nat.dbl(x3, 1n+x4)))) : Nat}
  {==}

Uses (8):
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Equal.sym
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Nat
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Nat.add
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=dbl_add
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_add_assoc
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_add_comm
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_add_left_comm
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/u32.bend&name=U32Nat.dbl