PROOF.ur.r29: def of bend-osdev-u32@0.1.0.0
Import: import bend-osdev-u32@0.1.0.0/PROOF.bend as PROOF
Lines 1633-1654 of bend-osdev-u32@0.1.0.0/PROOF.bend: https://jend.leeeet.dev/read.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/PROOF.bend&start_line=1633&end_line=1654

import Base
import bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend as Laws

def ur.r29(+x0: Nat, +x1: Nat, +x2: Nat, +x3: Nat) -> {Nat.add(x0, Nat.add(Nat.add(Nat.double(x1), x2), 1n+x3)) == Nat.add(Nat.add(Nat.double(x1), 1n+x2), Nat.add(x3, Nat.mul(1n, x0))) : Nat}:
  %Equal.sym(Nat, Nat.double(x1), Nat.add(x1, x1), Laws.nat_double(x1)) : {Nat.add(x0, Nat.add(Nat.add(_, x2), 1n+x3)) == Nat.add(Nat.add(Nat.double(x1), 1n+x2), Nat.add(x3, Nat.mul(1n, x0))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x1, x1), x2), Nat.add(x1, Nat.add(x1, x2)), Laws.nat_add_assoc(x1, x1, x2)) : {Nat.add(x0, Nat.add(_, 1n+x3)) == Nat.add(Nat.add(Nat.double(x1), 1n+x2), Nat.add(x3, Nat.mul(1n, x0))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x1, Nat.add(x1, x2)), Nat.add(1n, x3)), Nat.add(x1, Nat.add(Nat.add(x1, x2), Nat.add(1n, x3))), Laws.nat_add_assoc(x1, Nat.add(x1, x2), Nat.add(1n, x3))) : {Nat.add(x0, _) == Nat.add(Nat.add(Nat.double(x1), 1n+x2), Nat.add(x3, Nat.mul(1n, x0))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x1, x2), Nat.add(1n, x3)), Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(1n, x3))), Laws.nat_add_assoc(x1, x2, Nat.add(1n, x3))) : {Nat.add(x0, Nat.add(x1, _)) == Nat.add(Nat.add(Nat.double(x1), 1n+x2), Nat.add(x3, Nat.mul(1n, x0))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x2, Nat.add(1n, x3)), Nat.add(1n, Nat.add(x2, x3)), Laws.nat_add_left_comm(x2, 1n, x3)) : {Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x1, _))) == Nat.add(Nat.add(Nat.double(x1), 1n+x2), Nat.add(x3, Nat.mul(1n, x0))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x1, Nat.add(1n, Nat.add(x2, x3))), Nat.add(1n, Nat.add(x1, Nat.add(x2, x3))), Laws.nat_add_left_comm(x1, 1n, Nat.add(x2, x3))) : {Nat.add(x0, Nat.add(x1, _)) == Nat.add(Nat.add(Nat.double(x1), 1n+x2), Nat.add(x3, Nat.mul(1n, x0))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x1, Nat.add(1n, Nat.add(x1, Nat.add(x2, x3)))), Nat.add(1n, Nat.add(x1, Nat.add(x1, Nat.add(x2, x3)))), Laws.nat_add_left_comm(x1, 1n, Nat.add(x1, Nat.add(x2, x3)))) : {Nat.add(x0, _) == Nat.add(Nat.add(Nat.double(x1), 1n+x2), Nat.add(x3, Nat.mul(1n, x0))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x0, Nat.add(1n, Nat.add(x1, Nat.add(x1, Nat.add(x2, x3))))), Nat.add(1n, Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x1, Nat.add(x2, x3))))), Laws.nat_add_left_comm(x0, 1n, Nat.add(x1, Nat.add(x1, Nat.add(x2, x3))))) : {_ == Nat.add(Nat.add(Nat.double(x1), 1n+x2), Nat.add(x3, Nat.mul(1n, x0))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x1, Nat.add(x2, x3)))), Nat.add(x1, Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, x3)))), Equal.sym(Nat, Nat.add(x1, Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, x3)))), Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x1, Nat.add(x2, x3)))), Laws.nat_add_left_comm(x1, x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, x3))))) : {Nat.add(1n, _) == Nat.add(Nat.add(Nat.double(x1), 1n+x2), Nat.add(x3, Nat.mul(1n, x0))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, x3))), Nat.add(x1, Nat.add(x0, Nat.add(x2, x3))), Equal.sym(Nat, Nat.add(x1, Nat.add(x0, Nat.add(x2, x3))), Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, x3))), Laws.nat_add_left_comm(x1, x0, Nat.add(x2, x3)))) : {Nat.add(1n, Nat.add(x1, _)) == Nat.add(Nat.add(Nat.double(x1), 1n+x2), Nat.add(x3, Nat.mul(1n, x0))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x0, Nat.add(x2, x3)), Nat.add(x2, Nat.add(x0, x3)), Equal.sym(Nat, Nat.add(x2, Nat.add(x0, x3)), Nat.add(x0, Nat.add(x2, x3)), Laws.nat_add_left_comm(x2, x0, x3))) : {Nat.add(1n, Nat.add(x1, Nat.add(x1, _))) == Nat.add(Nat.add(Nat.double(x1), 1n+x2), Nat.add(x3, Nat.mul(1n, x0))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x0, x3))), Nat.add(Nat.add(x1, x2), Nat.add(x0, x3)), Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x1, x2), Nat.add(x0, x3)), Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x0, x3))), Laws.nat_add_assoc(x1, x2, Nat.add(x0, x3)))) : {Nat.add(1n, Nat.add(x1, _)) == Nat.add(Nat.add(Nat.double(x1), 1n+x2), Nat.add(x3, Nat.mul(1n, x0))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x1, Nat.add(Nat.add(x1, x2), Nat.add(x0, x3))), Nat.add(Nat.add(x1, Nat.add(x1, x2)), Nat.add(x0, x3)), Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x1, Nat.add(x1, x2)), Nat.add(x0, x3)), Nat.add(x1, Nat.add(Nat.add(x1, x2), Nat.add(x0, x3))), Laws.nat_add_assoc(x1, Nat.add(x1, x2), Nat.add(x0, x3)))) : {Nat.add(1n, _) == Nat.add(Nat.add(Nat.double(x1), 1n+x2), Nat.add(x3, Nat.mul(1n, x0))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(1n, Nat.add(Nat.add(x1, Nat.add(x1, x2)), Nat.add(x0, x3))), Nat.add(Nat.add(1n, Nat.add(x1, Nat.add(x1, x2))), Nat.add(x0, x3)), Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(1n, Nat.add(x1, Nat.add(x1, x2))), Nat.add(x0, x3)), Nat.add(1n, Nat.add(Nat.add(x1, Nat.add(x1, x2)), Nat.add(x0, x3))), Laws.nat_add_assoc(1n, Nat.add(x1, Nat.add(x1, x2)), Nat.add(x0, x3)))) : {_ == Nat.add(Nat.add(Nat.double(x1), 1n+x2), Nat.add(x3, Nat.mul(1n, x0))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x0, x3), Nat.add(x3, x0), Equal.sym(Nat, Nat.add(x3, x0), Nat.add(x0, x3), Laws.nat_add_comm(x3, x0))) : {Nat.add(Nat.add(1n, Nat.add(x1, Nat.add(x1, x2))), _) == Nat.add(Nat.add(Nat.double(x1), 1n+x2), Nat.add(x3, Nat.mul(1n, x0))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, x0, Nat.mul(1n, x0), Equal.sym(Nat, Nat.mul(1n, x0), x0, Laws.nat_one_mul(x0))) : {Nat.add(Nat.add(1n, Nat.add(x1, Nat.add(x1, x2))), Nat.add(x3, _)) == Nat.add(Nat.add(Nat.double(x1), 1n+x2), Nat.add(x3, Nat.mul(1n, x0))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(1n, Nat.add(x1, Nat.add(x1, x2))), Nat.add(x1, Nat.add(1n, Nat.add(x1, x2))), Equal.sym(Nat, Nat.add(x1, Nat.add(1n, Nat.add(x1, x2))), Nat.add(1n, Nat.add(x1, Nat.add(x1, x2))), Laws.nat_add_left_comm(x1, 1n, Nat.add(x1, x2)))) : {Nat.add(_, Nat.add(x3, Nat.mul(1n, x0))) == Nat.add(Nat.add(Nat.double(x1), 1n+x2), Nat.add(x3, Nat.mul(1n, x0))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(1n, Nat.add(x1, x2)), Nat.add(x1, Nat.add(1n, x2)), Equal.sym(Nat, Nat.add(x1, Nat.add(1n, x2)), Nat.add(1n, Nat.add(x1, x2)), Laws.nat_add_left_comm(x1, 1n, x2))) : {Nat.add(Nat.add(x1, _), Nat.add(x3, Nat.mul(1n, x0))) == Nat.add(Nat.add(Nat.double(x1), 1n+x2), Nat.add(x3, Nat.mul(1n, x0))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x1, Nat.add(x1, Nat.add(1n, x2))), Nat.add(Nat.add(x1, x1), Nat.add(1n, x2)), Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x1, x1), Nat.add(1n, x2)), Nat.add(x1, Nat.add(x1, Nat.add(1n, x2))), Laws.nat_add_assoc(x1, x1, Nat.add(1n, x2)))) : {Nat.add(_, Nat.add(x3, Nat.mul(1n, x0))) == Nat.add(Nat.add(Nat.double(x1), 1n+x2), Nat.add(x3, Nat.mul(1n, x0))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x1, x1), Nat.double(x1), Equal.sym(Nat, Nat.double(x1), Nat.add(x1, x1), Laws.nat_double(x1))) : {Nat.add(Nat.add(_, 1n+x2), Nat.add(x3, Nat.mul(1n, x0))) == Nat.add(Nat.add(Nat.double(x1), 1n+x2), Nat.add(x3, Nat.mul(1n, x0))) : Nat}
  {==}

Uses (10):
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Equal.sym
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Nat
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Nat.add
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Nat.double
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Nat.mul
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_add_assoc
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_add_comm
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_add_left_comm
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_double
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_one_mul