PROOF.ur.r27: def of bend-osdev-u32@0.1.0.0
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def ur.r27(+x0: Nat, +x1: Nat, +x2: Nat, +x3: Nat) -> {Nat.add(Nat.add(Nat.add(x0, x1), 2n+Nat.double(Nat.add(x2, x3))), 1n) == Nat.add(Nat.add(x0, x1), 1n+Nat.double(Nat.add(x2, 1n+x3))) : Nat}:
  %Equal.sym(Nat, Nat.double(Nat.add(x2, x3)), Nat.add(Nat.add(x2, x3), Nat.add(x2, x3)), Laws.nat_double(Nat.add(x2, x3))) : {Nat.add(Nat.add(Nat.add(x0, x1), Nat.add(1n, Nat.add(1n, _))), 1n) == Nat.add(Nat.add(x0, x1), 1n+Nat.double(Nat.add(x2, 1n+x3))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x2, x3), Nat.add(x2, x3)), Nat.add(x2, Nat.add(x3, Nat.add(x2, x3))), Laws.nat_add_assoc(x2, x3, Nat.add(x2, x3))) : {Nat.add(Nat.add(Nat.add(x0, x1), Nat.add(1n, Nat.add(1n, _))), 1n) == Nat.add(Nat.add(x0, x1), 1n+Nat.double(Nat.add(x2, 1n+x3))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x3, Nat.add(x2, x3)), Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)), Laws.nat_add_left_comm(x3, x2, x3)) : {Nat.add(Nat.add(Nat.add(x0, x1), Nat.add(1n, Nat.add(1n, Nat.add(x2, _)))), 1n) == Nat.add(Nat.add(x0, x1), 1n+Nat.double(Nat.add(x2, 1n+x3))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(1n, Nat.add(1n, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))))), Nat.add(Nat.add(1n, 1n), Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))), Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(1n, 1n), Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))), Nat.add(1n, Nat.add(1n, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))))), Laws.nat_add_assoc(1n, 1n, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))))) : {Nat.add(Nat.add(Nat.add(x0, x1), _), 1n) == Nat.add(Nat.add(x0, x1), 1n+Nat.double(Nat.add(x2, 1n+x3))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x0, x1), Nat.add(2n, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))))), Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(2n, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))))), Laws.nat_add_assoc(x0, x1, Nat.add(2n, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))))) : {Nat.add(_, 1n) == Nat.add(Nat.add(x0, x1), 1n+Nat.double(Nat.add(x2, 1n+x3))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x1, Nat.add(2n, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))))), Nat.add(2n, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))))), Laws.nat_add_left_comm(x1, 2n, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))))) : {Nat.add(Nat.add(x0, _), 1n) == Nat.add(Nat.add(x0, x1), 1n+Nat.double(Nat.add(x2, 1n+x3))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x0, Nat.add(2n, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))))), Nat.add(2n, Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))))), Laws.nat_add_left_comm(x0, 2n, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))))) : {Nat.add(_, 1n) == Nat.add(Nat.add(x0, x1), 1n+Nat.double(Nat.add(x2, 1n+x3))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(2n, Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))))), 1n), Nat.add(2n, Nat.add(Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))))), 1n)), Laws.nat_add_assoc(2n, Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))))), 1n)) : {_ == Nat.add(Nat.add(x0, x1), 1n+Nat.double(Nat.add(x2, 1n+x3))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))))), 1n), Nat.add(x0, Nat.add(Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))), 1n)), Laws.nat_add_assoc(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))), 1n)) : {Nat.add(2n, _) == Nat.add(Nat.add(x0, x1), 1n+Nat.double(Nat.add(x2, 1n+x3))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))), 1n), Nat.add(x1, Nat.add(Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))), 1n)), Laws.nat_add_assoc(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))), 1n)) : {Nat.add(2n, Nat.add(x0, _)) == Nat.add(Nat.add(x0, x1), 1n+Nat.double(Nat.add(x2, 1n+x3))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))), 1n), Nat.add(x2, Nat.add(Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)), 1n)), Laws.nat_add_assoc(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)), 1n)) : {Nat.add(2n, Nat.add(x0, Nat.add(x1, _))) == Nat.add(Nat.add(x0, x1), 1n+Nat.double(Nat.add(x2, 1n+x3))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)), 1n), Nat.add(x2, Nat.add(Nat.add(x3, x3), 1n)), Laws.nat_add_assoc(x2, Nat.add(x3, x3), 1n)) : {Nat.add(2n, Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, _)))) == Nat.add(Nat.add(x0, x1), 1n+Nat.double(Nat.add(x2, 1n+x3))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x3, x3), 1n), Nat.add(x3, Nat.add(x3, 1n)), Laws.nat_add_assoc(x3, x3, 1n)) : {Nat.add(2n, Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x2, _))))) == Nat.add(Nat.add(x0, x1), 1n+Nat.double(Nat.add(x2, 1n+x3))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x3, 1n), Nat.add(1n, x3), Laws.nat_add_comm(x3, 1n)) : {Nat.add(2n, Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, _)))))) == Nat.add(Nat.add(x0, x1), 1n+Nat.double(Nat.add(x2, 1n+x3))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x3, Nat.add(1n, x3)), Nat.add(1n, Nat.add(x3, x3)), Laws.nat_add_left_comm(x3, 1n, x3)) : {Nat.add(2n, Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x2, _))))) == Nat.add(Nat.add(x0, x1), 1n+Nat.double(Nat.add(x2, 1n+x3))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x2, Nat.add(1n, Nat.add(x3, x3))), Nat.add(1n, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))), Laws.nat_add_left_comm(x2, 1n, Nat.add(x3, x3))) : {Nat.add(2n, Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, _)))) == Nat.add(Nat.add(x0, x1), 1n+Nat.double(Nat.add(x2, 1n+x3))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x2, Nat.add(1n, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))), Nat.add(1n, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))), Laws.nat_add_left_comm(x2, 1n, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))) : {Nat.add(2n, Nat.add(x0, Nat.add(x1, _))) == Nat.add(Nat.add(x0, x1), 1n+Nat.double(Nat.add(x2, 1n+x3))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x1, Nat.add(1n, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))))), Nat.add(1n, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))))), Laws.nat_add_left_comm(x1, 1n, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))))) : {Nat.add(2n, Nat.add(x0, _)) == Nat.add(Nat.add(x0, x1), 1n+Nat.double(Nat.add(x2, 1n+x3))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x0, Nat.add(1n, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))))), Nat.add(1n, Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))))), Laws.nat_add_left_comm(x0, 1n, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))))) : {Nat.add(2n, _) == Nat.add(Nat.add(x0, x1), 1n+Nat.double(Nat.add(x2, 1n+x3))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(2n, Nat.add(1n, Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))))))), Nat.add(1n, Nat.add(2n, Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))))))), Laws.nat_add_left_comm(2n, 1n, Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))))))) : {_ == Nat.add(Nat.add(x0, x1), 1n+Nat.double(Nat.add(x2, 1n+x3))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(1n, Nat.add(2n, Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))))))), Nat.add(Nat.add(1n, 2n), Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))))), Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(1n, 2n), Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))))), Nat.add(1n, Nat.add(2n, Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))))))), Laws.nat_add_assoc(1n, 2n, Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))))))) : {_ == Nat.add(Nat.add(x0, x1), 1n+Nat.double(Nat.add(x2, 1n+x3))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(3n, Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))))), Nat.add(x0, Nat.add(3n, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))))), Equal.sym(Nat, Nat.add(x0, Nat.add(3n, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))))), Nat.add(3n, Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))))), Laws.nat_add_left_comm(x0, 3n, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))))))) : {_ == Nat.add(Nat.add(x0, x1), 1n+Nat.double(Nat.add(x2, 1n+x3))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(3n, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))))), Nat.add(x1, Nat.add(3n, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))))), Equal.sym(Nat, Nat.add(x1, Nat.add(3n, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))))), Nat.add(3n, Nat.add(x1, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))))), Laws.nat_add_left_comm(x1, 3n, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))))) : {Nat.add(x0, _) == Nat.add(Nat.add(x0, x1), 1n+Nat.double(Nat.add(x2, 1n+x3))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(3n, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))))), Nat.add(Nat.add(x0, x1), Nat.add(3n, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))))), Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x0, x1), Nat.add(3n, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))))), Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(3n, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))))), Laws.nat_add_assoc(x0, x1, Nat.add(3n, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))))))) : {_ == Nat.add(Nat.add(x0, x1), 1n+Nat.double(Nat.add(x2, 1n+x3))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(1n, 2n), Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))), Nat.add(1n, Nat.add(2n, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))))), Equal.sym(Nat, Nat.add(1n, Nat.add(2n, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))))), Nat.add(Nat.add(1n, 2n), Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))), Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(1n, 2n), Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))), Nat.add(1n, Nat.add(2n, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))))), Laws.nat_add_assoc(1n, 2n, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))))))) : {Nat.add(Nat.add(x0, x1), _) == Nat.add(Nat.add(x0, x1), 1n+Nat.double(Nat.add(x2, 1n+x3))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(1n, 1n), Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))), Nat.add(1n, Nat.add(1n, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))))), Equal.sym(Nat, Nat.add(1n, Nat.add(1n, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))))), Nat.add(Nat.add(1n, 1n), Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))), Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(1n, 1n), Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))), Nat.add(1n, Nat.add(1n, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))))), Laws.nat_add_assoc(1n, 1n, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))))))) : {Nat.add(Nat.add(x0, x1), Nat.add(1n, _)) == Nat.add(Nat.add(x0, x1), 1n+Nat.double(Nat.add(x2, 1n+x3))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(1n, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))), Nat.add(x2, Nat.add(1n, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))), Equal.sym(Nat, Nat.add(x2, Nat.add(1n, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))), Nat.add(1n, Nat.add(x2, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)))), Laws.nat_add_left_comm(x2, 1n, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3))))) : {Nat.add(Nat.add(x0, x1), Nat.add(1n, Nat.add(1n, _))) == Nat.add(Nat.add(x0, x1), 1n+Nat.double(Nat.add(x2, 1n+x3))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)), Nat.add(x3, Nat.add(x2, x3)), Equal.sym(Nat, Nat.add(x3, Nat.add(x2, x3)), Nat.add(x2, Nat.add(x3, x3)), Laws.nat_add_left_comm(x3, x2, x3))) : {Nat.add(Nat.add(x0, x1), Nat.add(1n, Nat.add(1n, Nat.add(x2, Nat.add(1n, _))))) == Nat.add(Nat.add(x0, x1), 1n+Nat.double(Nat.add(x2, 1n+x3))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(1n, Nat.add(x3, Nat.add(x2, x3))), Nat.add(x3, Nat.add(1n, Nat.add(x2, x3))), Equal.sym(Nat, Nat.add(x3, Nat.add(1n, Nat.add(x2, x3))), Nat.add(1n, Nat.add(x3, Nat.add(x2, x3))), Laws.nat_add_left_comm(x3, 1n, Nat.add(x2, x3)))) : {Nat.add(Nat.add(x0, x1), Nat.add(1n, Nat.add(1n, Nat.add(x2, _)))) == Nat.add(Nat.add(x0, x1), 1n+Nat.double(Nat.add(x2, 1n+x3))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x2, Nat.add(x3, Nat.add(1n, Nat.add(x2, x3)))), Nat.add(Nat.add(x2, x3), Nat.add(1n, Nat.add(x2, x3))), Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x2, x3), Nat.add(1n, Nat.add(x2, x3))), Nat.add(x2, Nat.add(x3, Nat.add(1n, Nat.add(x2, x3)))), Laws.nat_add_assoc(x2, x3, Nat.add(1n, Nat.add(x2, x3))))) : {Nat.add(Nat.add(x0, x1), Nat.add(1n, Nat.add(1n, _))) == Nat.add(Nat.add(x0, x1), 1n+Nat.double(Nat.add(x2, 1n+x3))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(1n, Nat.add(Nat.add(x2, x3), Nat.add(1n, Nat.add(x2, x3)))), Nat.add(Nat.add(1n, Nat.add(x2, x3)), Nat.add(1n, Nat.add(x2, x3))), Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(1n, Nat.add(x2, x3)), Nat.add(1n, Nat.add(x2, x3))), Nat.add(1n, Nat.add(Nat.add(x2, x3), Nat.add(1n, Nat.add(x2, x3)))), Laws.nat_add_assoc(1n, Nat.add(x2, x3), Nat.add(1n, Nat.add(x2, x3))))) : {Nat.add(Nat.add(x0, x1), Nat.add(1n, _)) == Nat.add(Nat.add(x0, x1), 1n+Nat.double(Nat.add(x2, 1n+x3))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(1n, Nat.add(x2, x3)), Nat.add(x2, Nat.add(1n, x3)), Equal.sym(Nat, Nat.add(x2, Nat.add(1n, x3)), Nat.add(1n, Nat.add(x2, x3)), Laws.nat_add_left_comm(x2, 1n, x3))) : {Nat.add(Nat.add(x0, x1), Nat.add(1n, Nat.add(Nat.add(1n, Nat.add(x2, x3)), _))) == Nat.add(Nat.add(x0, x1), 1n+Nat.double(Nat.add(x2, 1n+x3))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(1n, Nat.add(x2, x3)), Nat.add(x2, Nat.add(1n, x3)), Equal.sym(Nat, Nat.add(x2, Nat.add(1n, x3)), Nat.add(1n, Nat.add(x2, x3)), Laws.nat_add_left_comm(x2, 1n, x3))) : {Nat.add(Nat.add(x0, x1), Nat.add(1n, Nat.add(_, Nat.add(x2, 1n+x3)))) == Nat.add(Nat.add(x0, x1), 1n+Nat.double(Nat.add(x2, 1n+x3))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x2, 1n+x3), Nat.add(x2, 1n+x3)), Nat.double(Nat.add(x2, 1n+x3)), Equal.sym(Nat, Nat.double(Nat.add(x2, 1n+x3)), Nat.add(Nat.add(x2, 1n+x3), Nat.add(x2, 1n+x3)), Laws.nat_double(Nat.add(x2, 1n+x3)))) : {Nat.add(Nat.add(x0, x1), Nat.add(1n, _)) == Nat.add(Nat.add(x0, x1), 1n+Nat.double(Nat.add(x2, 1n+x3))) : Nat}
  {==}

Uses (8):
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Equal.sym
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Nat
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Nat.add
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Nat.double
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_add_assoc
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_add_comm
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_add_left_comm
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_double