PROOF.ur.r2: def of bend-osdev-u32@0.1.0.0
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import Base
import bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend as Laws

def ur.r2(+x0: Nat, +x1: Nat, +x2: Nat) -> {Nat.add(Nat.mul(1n+x0, x1), x2) == Nat.add(x1, Nat.add(Nat.mul(x0, x1), x2)) : Nat}:
  %Equal.sym(Nat, Nat.mul(Nat.add(1n, x0), x1), Nat.add(Nat.mul(1n, x1), Nat.mul(x0, x1)), Laws.nat_add_mul(1n, x0, x1)) : {Nat.add(_, x2) == Nat.add(x1, Nat.add(Nat.mul(x0, x1), x2)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.mul(1n, x1), x1, Laws.nat_one_mul(x1)) : {Nat.add(Nat.add(_, Nat.mul(x0, x1)), x2) == Nat.add(x1, Nat.add(Nat.mul(x0, x1), x2)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x1, Nat.mul(x0, x1)), Nat.add(Nat.mul(x0, x1), x1), Laws.nat_add_comm(x1, Nat.mul(x0, x1))) : {Nat.add(_, x2) == Nat.add(x1, Nat.add(Nat.mul(x0, x1), x2)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(Nat.mul(x0, x1), x1), x2), Nat.add(Nat.mul(x0, x1), Nat.add(x1, x2)), Laws.nat_add_assoc(Nat.mul(x0, x1), x1, x2)) : {_ == Nat.add(x1, Nat.add(Nat.mul(x0, x1), x2)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.mul(x0, x1), Nat.add(x1, x2)), Nat.add(x1, Nat.add(Nat.mul(x0, x1), x2)), Equal.sym(Nat, Nat.add(x1, Nat.add(Nat.mul(x0, x1), x2)), Nat.add(Nat.mul(x0, x1), Nat.add(x1, x2)), Laws.nat_add_left_comm(x1, Nat.mul(x0, x1), x2))) : {_ == Nat.add(x1, Nat.add(Nat.mul(x0, x1), x2)) : Nat}
  {==}

Uses (9):
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Equal.sym
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Nat
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Nat.add
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Nat.mul
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_add_assoc
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_add_comm
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_add_left_comm
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_add_mul
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_one_mul