PROOF.ur.r19: def of bend-osdev-u32@0.1.0.0
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import bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend as Laws

def ur.r19(+x0: Nat, +x1: Nat, +x2: Nat) -> {Nat.add(Nat.add(x0, x1), Nat.mul(x2, Nat.double(x1))) == Nat.add(x0, Nat.mul(1n+Nat.double(x2), x1)) : Nat}:
  %Equal.sym(Nat, Nat.double(x1), Nat.add(x1, x1), Laws.nat_double(x1)) : {Nat.add(Nat.add(x0, x1), Nat.mul(x2, _)) == Nat.add(x0, Nat.mul(1n+Nat.double(x2), x1)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.mul(x2, Nat.add(x1, x1)), Nat.add(Nat.mul(x2, x1), Nat.mul(x2, x1)), Laws.nat_mul_add(x2, x1, x1)) : {Nat.add(Nat.add(x0, x1), _) == Nat.add(x0, Nat.mul(1n+Nat.double(x2), x1)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.mul(x2, x1), Nat.mul(x1, x2), Laws.nat_mul_comm(x2, x1)) : {Nat.add(Nat.add(x0, x1), Nat.add(_, Nat.mul(x2, x1))) == Nat.add(x0, Nat.mul(1n+Nat.double(x2), x1)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.mul(x2, x1), Nat.mul(x1, x2), Laws.nat_mul_comm(x2, x1)) : {Nat.add(Nat.add(x0, x1), Nat.add(Nat.mul(x1, x2), _)) == Nat.add(x0, Nat.mul(1n+Nat.double(x2), x1)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x0, x1), Nat.add(Nat.mul(x1, x2), Nat.mul(x1, x2))), Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(Nat.mul(x1, x2), Nat.mul(x1, x2)))), Laws.nat_add_assoc(x0, x1, Nat.add(Nat.mul(x1, x2), Nat.mul(x1, x2)))) : {_ == Nat.add(x0, Nat.mul(1n+Nat.double(x2), x1)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.mul(x1, x2), Nat.mul(x2, x1), Equal.sym(Nat, Nat.mul(x2, x1), Nat.mul(x1, x2), Laws.nat_mul_comm(x2, x1))) : {Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(Nat.mul(x1, x2), _))) == Nat.add(x0, Nat.mul(1n+Nat.double(x2), x1)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.mul(x1, x2), Nat.mul(x2, x1), Equal.sym(Nat, Nat.mul(x2, x1), Nat.mul(x1, x2), Laws.nat_mul_comm(x2, x1))) : {Nat.add(x0, Nat.add(x1, Nat.add(_, Nat.mul(x2, x1)))) == Nat.add(x0, Nat.mul(1n+Nat.double(x2), x1)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, x1, Nat.mul(1n, x1), Equal.sym(Nat, Nat.mul(1n, x1), x1, Laws.nat_one_mul(x1))) : {Nat.add(x0, Nat.add(_, Nat.add(Nat.mul(x2, x1), Nat.mul(x2, x1)))) == Nat.add(x0, Nat.mul(1n+Nat.double(x2), x1)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.mul(x2, x1), Nat.mul(x2, x1)), Nat.mul(Nat.add(x2, x2), x1), Equal.sym(Nat, Nat.mul(Nat.add(x2, x2), x1), Nat.add(Nat.mul(x2, x1), Nat.mul(x2, x1)), Laws.nat_add_mul(x2, x2, x1))) : {Nat.add(x0, Nat.add(Nat.mul(1n, x1), _)) == Nat.add(x0, Nat.mul(1n+Nat.double(x2), x1)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.mul(1n, x1), Nat.mul(Nat.add(x2, x2), x1)), Nat.mul(Nat.add(1n, Nat.add(x2, x2)), x1), Equal.sym(Nat, Nat.mul(Nat.add(1n, Nat.add(x2, x2)), x1), Nat.add(Nat.mul(1n, x1), Nat.mul(Nat.add(x2, x2), x1)), Laws.nat_add_mul(1n, Nat.add(x2, x2), x1))) : {Nat.add(x0, _) == Nat.add(x0, Nat.mul(1n+Nat.double(x2), x1)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x2, x2), Nat.double(x2), Equal.sym(Nat, Nat.double(x2), Nat.add(x2, x2), Laws.nat_double(x2))) : {Nat.add(x0, Nat.mul(Nat.add(1n, _), x1)) == Nat.add(x0, Nat.mul(1n+Nat.double(x2), x1)) : Nat}
  {==}

Uses (11):
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  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Nat
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Nat.add
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Nat.double
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Nat.mul
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_add_assoc
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_add_mul
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_double
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_mul_add
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_mul_comm
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_one_mul