PROOF.ur.r18: def of bend-osdev-u32@0.1.0.0
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def ur.r18(+x0: Nat, +x1: Nat, +x2: Nat, +x3: Nat, +x4: Nat, +x5: Nat) -> {Nat.add(Nat.add(x0, Nat.mul(x1, x2)), Nat.add(U.U32Nat.dbl(x3, x4), U.U32Nat.dbl(x3, Nat.mul(x1, x5)))) == Nat.add(Nat.add(x0, U.U32Nat.dbl(x3, x4)), Nat.mul(x1, Nat.add(x2, U.U32Nat.dbl(x3, x5)))) : Nat}:
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(U.U32Nat.dbl(x3, x4), U.U32Nat.dbl(x3, Nat.mul(x1, x5))), Nat.add(U.U32Nat.dbl(x3, Nat.mul(x1, x5)), U.U32Nat.dbl(x3, x4)), Laws.nat_add_comm(U.U32Nat.dbl(x3, x4), U.U32Nat.dbl(x3, Nat.mul(x1, x5)))) : {Nat.add(Nat.add(x0, Nat.mul(x1, x2)), _) == Nat.add(Nat.add(x0, U.U32Nat.dbl(x3, x4)), Nat.mul(x1, Nat.add(x2, U.U32Nat.dbl(x3, x5)))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x0, Nat.mul(x1, x2)), Nat.add(U.U32Nat.dbl(x3, Nat.mul(x1, x5)), U.U32Nat.dbl(x3, x4))), Nat.add(x0, Nat.add(Nat.mul(x1, x2), Nat.add(U.U32Nat.dbl(x3, Nat.mul(x1, x5)), U.U32Nat.dbl(x3, x4)))), Laws.nat_add_assoc(x0, Nat.mul(x1, x2), Nat.add(U.U32Nat.dbl(x3, Nat.mul(x1, x5)), U.U32Nat.dbl(x3, x4)))) : {_ == Nat.add(Nat.add(x0, U.U32Nat.dbl(x3, x4)), Nat.mul(x1, Nat.add(x2, U.U32Nat.dbl(x3, x5)))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(U.U32Nat.dbl(x3, Nat.mul(x1, x5)), U.U32Nat.dbl(x3, x4)), Nat.add(U.U32Nat.dbl(x3, x4), U.U32Nat.dbl(x3, Nat.mul(x1, x5))), Equal.sym(Nat, Nat.add(U.U32Nat.dbl(x3, x4), U.U32Nat.dbl(x3, Nat.mul(x1, x5))), Nat.add(U.U32Nat.dbl(x3, Nat.mul(x1, x5)), U.U32Nat.dbl(x3, x4)), Laws.nat_add_comm(U.U32Nat.dbl(x3, x4), U.U32Nat.dbl(x3, Nat.mul(x1, x5))))) : {Nat.add(x0, Nat.add(Nat.mul(x1, x2), _)) == Nat.add(Nat.add(x0, U.U32Nat.dbl(x3, x4)), Nat.mul(x1, Nat.add(x2, U.U32Nat.dbl(x3, x5)))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.mul(x1, x2), Nat.add(U.U32Nat.dbl(x3, x4), U.U32Nat.dbl(x3, Nat.mul(x1, x5)))), Nat.add(U.U32Nat.dbl(x3, x4), Nat.add(Nat.mul(x1, x2), U.U32Nat.dbl(x3, Nat.mul(x1, x5)))), Equal.sym(Nat, Nat.add(U.U32Nat.dbl(x3, x4), Nat.add(Nat.mul(x1, x2), U.U32Nat.dbl(x3, Nat.mul(x1, x5)))), Nat.add(Nat.mul(x1, x2), Nat.add(U.U32Nat.dbl(x3, x4), U.U32Nat.dbl(x3, Nat.mul(x1, x5)))), Laws.nat_add_left_comm(U.U32Nat.dbl(x3, x4), Nat.mul(x1, x2), U.U32Nat.dbl(x3, Nat.mul(x1, x5))))) : {Nat.add(x0, _) == Nat.add(Nat.add(x0, U.U32Nat.dbl(x3, x4)), Nat.mul(x1, Nat.add(x2, U.U32Nat.dbl(x3, x5)))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x0, Nat.add(U.U32Nat.dbl(x3, x4), Nat.add(Nat.mul(x1, x2), U.U32Nat.dbl(x3, Nat.mul(x1, x5))))), Nat.add(Nat.add(x0, U.U32Nat.dbl(x3, x4)), Nat.add(Nat.mul(x1, x2), U.U32Nat.dbl(x3, Nat.mul(x1, x5)))), Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x0, U.U32Nat.dbl(x3, x4)), Nat.add(Nat.mul(x1, x2), U.U32Nat.dbl(x3, Nat.mul(x1, x5)))), Nat.add(x0, Nat.add(U.U32Nat.dbl(x3, x4), Nat.add(Nat.mul(x1, x2), U.U32Nat.dbl(x3, Nat.mul(x1, x5))))), Laws.nat_add_assoc(x0, U.U32Nat.dbl(x3, x4), Nat.add(Nat.mul(x1, x2), U.U32Nat.dbl(x3, Nat.mul(x1, x5)))))) : {_ == Nat.add(Nat.add(x0, U.U32Nat.dbl(x3, x4)), Nat.mul(x1, Nat.add(x2, U.U32Nat.dbl(x3, x5)))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, U.U32Nat.dbl(x3, Nat.mul(x1, x5)), Nat.mul(x1, U.U32Nat.dbl(x3, x5)), Equal.sym(Nat, Nat.mul(x1, U.U32Nat.dbl(x3, x5)), U.U32Nat.dbl(x3, Nat.mul(x1, x5)), Laws.dbl_mul_r(x3, x1, x5))) : {Nat.add(Nat.add(x0, U.U32Nat.dbl(x3, x4)), Nat.add(Nat.mul(x1, x2), _)) == Nat.add(Nat.add(x0, U.U32Nat.dbl(x3, x4)), Nat.mul(x1, Nat.add(x2, U.U32Nat.dbl(x3, x5)))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.mul(x1, x2), Nat.mul(x1, U.U32Nat.dbl(x3, x5))), Nat.mul(x1, Nat.add(x2, U.U32Nat.dbl(x3, x5))), Equal.sym(Nat, Nat.mul(x1, Nat.add(x2, U.U32Nat.dbl(x3, x5))), Nat.add(Nat.mul(x1, x2), Nat.mul(x1, U.U32Nat.dbl(x3, x5))), Laws.nat_mul_add(x1, x2, U.U32Nat.dbl(x3, x5)))) : {Nat.add(Nat.add(x0, U.U32Nat.dbl(x3, x4)), _) == Nat.add(Nat.add(x0, U.U32Nat.dbl(x3, x4)), Nat.mul(x1, Nat.add(x2, U.U32Nat.dbl(x3, x5)))) : Nat}
  {==}

Uses (10):
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Equal.sym
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Nat
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Nat.add
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Nat.mul
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=dbl_mul_r
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_add_assoc
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_add_comm
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_add_left_comm
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_mul_add
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/u32.bend&name=U32Nat.dbl