PROOF.ur.r15: def of bend-osdev-u32@0.1.0.0
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import Base
import bend-osdev-u32@0.1.0.0/u32.bend as U
import bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend as Laws

def ur.r15(+x0: Nat, +x1: Nat, +x2: Nat, +x3: Nat, +x4: Nat) -> {Nat.add(Nat.add(x0, Nat.mul(x1, x2)), U.U32Nat.dbl(x3, Nat.mul(x1, x4))) == Nat.add(x0, Nat.mul(x1, Nat.add(x2, U.U32Nat.dbl(x3, x4)))) : Nat}:
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x0, Nat.mul(x1, x2)), U.U32Nat.dbl(x3, Nat.mul(x1, x4))), Nat.add(x0, Nat.add(Nat.mul(x1, x2), U.U32Nat.dbl(x3, Nat.mul(x1, x4)))), Laws.nat_add_assoc(x0, Nat.mul(x1, x2), U.U32Nat.dbl(x3, Nat.mul(x1, x4)))) : {_ == Nat.add(x0, Nat.mul(x1, Nat.add(x2, U.U32Nat.dbl(x3, x4)))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, U.U32Nat.dbl(x3, Nat.mul(x1, x4)), Nat.mul(x1, U.U32Nat.dbl(x3, x4)), Equal.sym(Nat, Nat.mul(x1, U.U32Nat.dbl(x3, x4)), U.U32Nat.dbl(x3, Nat.mul(x1, x4)), Laws.dbl_mul_r(x3, x1, x4))) : {Nat.add(x0, Nat.add(Nat.mul(x1, x2), _)) == Nat.add(x0, Nat.mul(x1, Nat.add(x2, U.U32Nat.dbl(x3, x4)))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.mul(x1, x2), Nat.mul(x1, U.U32Nat.dbl(x3, x4))), Nat.mul(x1, Nat.add(x2, U.U32Nat.dbl(x3, x4))), Equal.sym(Nat, Nat.mul(x1, Nat.add(x2, U.U32Nat.dbl(x3, x4))), Nat.add(Nat.mul(x1, x2), Nat.mul(x1, U.U32Nat.dbl(x3, x4))), Laws.nat_mul_add(x1, x2, U.U32Nat.dbl(x3, x4)))) : {Nat.add(x0, _) == Nat.add(x0, Nat.mul(x1, Nat.add(x2, U.U32Nat.dbl(x3, x4)))) : Nat}
  {==}

Uses (8):
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Equal.sym
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Nat
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Nat.add
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Nat.mul
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=dbl_mul_r
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_add_assoc
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_mul_add
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/u32.bend&name=U32Nat.dbl