PROOF.ur.r12: def of bend-osdev-u32@0.1.0.0
Import: import bend-osdev-u32@0.1.0.0/PROOF.bend as PROOF
Lines 1280-1288 of bend-osdev-u32@0.1.0.0/PROOF.bend: https://jend.leeeet.dev/read.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/PROOF.bend&start_line=1280&end_line=1288

import Base
import bend-osdev-u32@0.1.0.0/u32.bend as U
import bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend as Laws

def ur.r12(+x0: Nat, +x1: Nat, +x2: Nat) -> {Nat.add(Nat.double(x0), U.U32Nat.dbl(x1, Nat.double(x2))) == Nat.double(Nat.add(x0, U.U32Nat.dbl(x1, x2))) : Nat}:
  %Equal.sym(Nat, Nat.double(x0), Nat.add(x0, x0), Laws.nat_double(x0)) : {Nat.add(_, U.U32Nat.dbl(x1, Nat.double(x2))) == Nat.double(Nat.add(x0, U.U32Nat.dbl(x1, x2))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.double(x2), Nat.add(x2, x2), Laws.nat_double(x2)) : {Nat.add(Nat.add(x0, x0), U.U32Nat.dbl(x1, _)) == Nat.double(Nat.add(x0, U.U32Nat.dbl(x1, x2))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, U.U32Nat.dbl(x1, Nat.add(x2, x2)), Nat.add(U.U32Nat.dbl(x1, x2), U.U32Nat.dbl(x1, x2)), Laws.dbl_add(x1, x2, x2)) : {Nat.add(Nat.add(x0, x0), _) == Nat.double(Nat.add(x0, U.U32Nat.dbl(x1, x2))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x0, x0), Nat.add(U.U32Nat.dbl(x1, x2), U.U32Nat.dbl(x1, x2))), Nat.add(x0, Nat.add(x0, Nat.add(U.U32Nat.dbl(x1, x2), U.U32Nat.dbl(x1, x2)))), Laws.nat_add_assoc(x0, x0, Nat.add(U.U32Nat.dbl(x1, x2), U.U32Nat.dbl(x1, x2)))) : {_ == Nat.double(Nat.add(x0, U.U32Nat.dbl(x1, x2))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x0, Nat.add(U.U32Nat.dbl(x1, x2), U.U32Nat.dbl(x1, x2))), Nat.add(U.U32Nat.dbl(x1, x2), Nat.add(x0, U.U32Nat.dbl(x1, x2))), Equal.sym(Nat, Nat.add(U.U32Nat.dbl(x1, x2), Nat.add(x0, U.U32Nat.dbl(x1, x2))), Nat.add(x0, Nat.add(U.U32Nat.dbl(x1, x2), U.U32Nat.dbl(x1, x2))), Laws.nat_add_left_comm(U.U32Nat.dbl(x1, x2), x0, U.U32Nat.dbl(x1, x2)))) : {Nat.add(x0, _) == Nat.double(Nat.add(x0, U.U32Nat.dbl(x1, x2))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x0, Nat.add(U.U32Nat.dbl(x1, x2), Nat.add(x0, U.U32Nat.dbl(x1, x2)))), Nat.add(Nat.add(x0, U.U32Nat.dbl(x1, x2)), Nat.add(x0, U.U32Nat.dbl(x1, x2))), Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x0, U.U32Nat.dbl(x1, x2)), Nat.add(x0, U.U32Nat.dbl(x1, x2))), Nat.add(x0, Nat.add(U.U32Nat.dbl(x1, x2), Nat.add(x0, U.U32Nat.dbl(x1, x2)))), Laws.nat_add_assoc(x0, U.U32Nat.dbl(x1, x2), Nat.add(x0, U.U32Nat.dbl(x1, x2))))) : {_ == Nat.double(Nat.add(x0, U.U32Nat.dbl(x1, x2))) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x0, U.U32Nat.dbl(x1, x2)), Nat.add(x0, U.U32Nat.dbl(x1, x2))), Nat.double(Nat.add(x0, U.U32Nat.dbl(x1, x2))), Equal.sym(Nat, Nat.double(Nat.add(x0, U.U32Nat.dbl(x1, x2))), Nat.add(Nat.add(x0, U.U32Nat.dbl(x1, x2)), Nat.add(x0, U.U32Nat.dbl(x1, x2))), Laws.nat_double(Nat.add(x0, U.U32Nat.dbl(x1, x2))))) : {_ == Nat.double(Nat.add(x0, U.U32Nat.dbl(x1, x2))) : Nat}
  {==}

Uses (9):
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Equal.sym
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Nat
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Nat.add
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Nat.double
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=dbl_add
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_add_assoc
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_add_left_comm
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_double
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/u32.bend&name=U32Nat.dbl