PROOF.ur.r0: def of bend-osdev-u32@0.1.0.0
Import: import bend-osdev-u32@0.1.0.0/PROOF.bend as PROOF
Lines 1041-1053 of bend-osdev-u32@0.1.0.0/PROOF.bend: https://jend.leeeet.dev/read.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/PROOF.bend&start_line=1041&end_line=1053

import Base
import bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend as Laws

def ur.r0(+x0: Nat, +x1: Nat, +x2: Nat, +x3: Nat) -> {Nat.add(Nat.add(x0, Nat.add(Nat.mul(x1, x2), x3)), 1n+x2) == Nat.add(x0, 1n+Nat.add(Nat.mul(1n+x1, x2), x3)) : Nat}:
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(x0, Nat.add(Nat.mul(x1, x2), x3)), Nat.add(1n, x2)), Nat.add(x0, Nat.add(Nat.add(Nat.mul(x1, x2), x3), Nat.add(1n, x2))), Laws.nat_add_assoc(x0, Nat.add(Nat.mul(x1, x2), x3), Nat.add(1n, x2))) : {_ == Nat.add(x0, 1n+Nat.add(Nat.mul(1n+x1, x2), x3)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(Nat.mul(x1, x2), x3), Nat.add(1n, x2)), Nat.add(Nat.mul(x1, x2), Nat.add(x3, Nat.add(1n, x2))), Laws.nat_add_assoc(Nat.mul(x1, x2), x3, Nat.add(1n, x2))) : {Nat.add(x0, _) == Nat.add(x0, 1n+Nat.add(Nat.mul(1n+x1, x2), x3)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x3, Nat.add(1n, x2)), Nat.add(1n, Nat.add(x3, x2)), Laws.nat_add_left_comm(x3, 1n, x2)) : {Nat.add(x0, Nat.add(Nat.mul(x1, x2), _)) == Nat.add(x0, 1n+Nat.add(Nat.mul(1n+x1, x2), x3)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x3, x2), Nat.add(x2, x3), Laws.nat_add_comm(x3, x2)) : {Nat.add(x0, Nat.add(Nat.mul(x1, x2), Nat.add(1n, _))) == Nat.add(x0, 1n+Nat.add(Nat.mul(1n+x1, x2), x3)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.mul(x1, x2), Nat.add(1n, Nat.add(x2, x3))), Nat.add(1n, Nat.add(Nat.mul(x1, x2), Nat.add(x2, x3))), Laws.nat_add_left_comm(Nat.mul(x1, x2), 1n, Nat.add(x2, x3))) : {Nat.add(x0, _) == Nat.add(x0, 1n+Nat.add(Nat.mul(1n+x1, x2), x3)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(x0, Nat.add(1n, Nat.add(Nat.mul(x1, x2), Nat.add(x2, x3)))), Nat.add(1n, Nat.add(x0, Nat.add(Nat.mul(x1, x2), Nat.add(x2, x3)))), Laws.nat_add_left_comm(x0, 1n, Nat.add(Nat.mul(x1, x2), Nat.add(x2, x3)))) : {_ == Nat.add(x0, 1n+Nat.add(Nat.mul(1n+x1, x2), x3)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(1n, Nat.add(x0, Nat.add(Nat.mul(x1, x2), Nat.add(x2, x3)))), Nat.add(x0, Nat.add(1n, Nat.add(Nat.mul(x1, x2), Nat.add(x2, x3)))), Equal.sym(Nat, Nat.add(x0, Nat.add(1n, Nat.add(Nat.mul(x1, x2), Nat.add(x2, x3)))), Nat.add(1n, Nat.add(x0, Nat.add(Nat.mul(x1, x2), Nat.add(x2, x3)))), Laws.nat_add_left_comm(x0, 1n, Nat.add(Nat.mul(x1, x2), Nat.add(x2, x3))))) : {_ == Nat.add(x0, 1n+Nat.add(Nat.mul(1n+x1, x2), x3)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.mul(x1, x2), Nat.add(x2, x3)), Nat.add(Nat.add(Nat.mul(x1, x2), x2), x3), Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.add(Nat.mul(x1, x2), x2), x3), Nat.add(Nat.mul(x1, x2), Nat.add(x2, x3)), Laws.nat_add_assoc(Nat.mul(x1, x2), x2, x3))) : {Nat.add(x0, Nat.add(1n, _)) == Nat.add(x0, 1n+Nat.add(Nat.mul(1n+x1, x2), x3)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.mul(x1, x2), x2), Nat.add(x2, Nat.mul(x1, x2)), Equal.sym(Nat, Nat.add(x2, Nat.mul(x1, x2)), Nat.add(Nat.mul(x1, x2), x2), Laws.nat_add_comm(x2, Nat.mul(x1, x2)))) : {Nat.add(x0, Nat.add(1n, Nat.add(_, x3))) == Nat.add(x0, 1n+Nat.add(Nat.mul(1n+x1, x2), x3)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, x2, Nat.mul(1n, x2), Equal.sym(Nat, Nat.mul(1n, x2), x2, Laws.nat_one_mul(x2))) : {Nat.add(x0, Nat.add(1n, Nat.add(Nat.add(_, Nat.mul(x1, x2)), x3))) == Nat.add(x0, 1n+Nat.add(Nat.mul(1n+x1, x2), x3)) : Nat}
  %Equal.sym(Nat, Nat.add(Nat.mul(1n, x2), Nat.mul(x1, x2)), Nat.mul(Nat.add(1n, x1), x2), Equal.sym(Nat, Nat.mul(Nat.add(1n, x1), x2), Nat.add(Nat.mul(1n, x2), Nat.mul(x1, x2)), Laws.nat_add_mul(1n, x1, x2))) : {Nat.add(x0, Nat.add(1n, Nat.add(_, x3))) == Nat.add(x0, 1n+Nat.add(Nat.mul(1n+x1, x2), x3)) : Nat}
  {==}

Uses (9):
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Equal.sym
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Nat
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Nat.add
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=Base/base.bend&name=Nat.mul
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_add_assoc
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_add_comm
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_add_left_comm
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_add_mul
  https://jend.leeeet.dev/definition.txt?path=bend-osdev-u32@0.1.0.0/LAWS.bend&name=nat_one_mul